[파인만 양자역학] 3-1. 진폭을 결합하는 법칙들 [2/2] (The laws for combining amplitudes)
[참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/2강[강의]/[원문]
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파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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3. Probability Amplitudes
3장. 확률 진폭
3-1. The laws for combining amplitudes [2/2]
3-1. 진폭을 결합하는 법칙들 [2/2]
<계속>
We give it so that you can solve problems involving various combinations of slits.
다양한 슬릿(slit, 전자가 통과할 구멍이 뚫린 벽)의 조합으로 구성되었더라도 진폭을 계산할 수 있게 됐다.
[앞서 "확률 진폭"의 세가지 원리: 복소수로 표현하여 절대값 제곱, 진폭의 곱의 원리, 진폭의 합의 원리를 세웠었다.]
Suppose a particle with a definite energy is going in empty space from a location r1 to a location r2. In other words, it is a free particle with no forces on it.
고유 에너지(definite energy)를 가진 전자가 빈 공간(empty space)에서 위치 r1에서 r2로 움직인다고 하자. 이를 달리 말하면 외부 힘의 영향을 받지 않는 공간에 자유입자가 있다고 하자.
[빈공간에서 자유전자의 이동: 외부 힘의 영향을 받아 가속되거나 충전되는 등 에너지를 더 얻게되지 않은 전자가 별도의 힘이 작용하지 않는 공간에서 이동]
Except for a numerical factor in front, the amplitude to go from r1 to r2 is
⟨r2|r1⟩ = e^(ipr_12/ℏ)/r_12 ............................ (3.7)
where r_12 = |r_2 − r_1|, and p is the momentum which is related to the energy E by the relativistic equation
이 식에서 r_12 는 |r_2 − r_1| 로 이동거리[공간에서 위치 벡터의 절대값 차분]이며 p 는 운동량으로 상대론의 에너지 관련 식으로 표현하면 다음과 같다.
(p^2)(c^2) = (E^2) − ((m_0)(c^2))^2,
or the nonrelativistic equation
또는 비 상대론적으로 표현한 운동량은 다음과 같다.
(p^2)/2m = Kinetic energy ; [운동에너지 E_k]
['상대론적' 과 '비 상대론적': 속도 v 로 움직이는 물체의 운동을 해석할 때 상수화 한 빛의 속도 c 를 고려했을 때 상대론적(relativistic), 속도 v가 빛의 속도에 비해 매우 작을 경우 (v/c)^2 항을 무시하면 비 상대론적(non-relativistic)]
[에너지 E 로 정하는 선운동량: 속도를 변수로 운동을 해석. 힘으로 해석하는 운동은 시간을 주요 변수로 취급한다. 변위에 대한 시간 미분은 속도, 속도에 대한 시간 미분은 가속도다.]
Equation (3.7) says in effect that the particle has wavelike properties, the amplitude propagating as a wave with a wave number equal to the momentum divided by ℏ.
식 (3.7)은 입자가 파동성을 가지고 있기에 나타난 효과를 보여준다. [확률]진폭이 운동량을 ℏ로 나눈 파수(wave number)를 가진 파동처럼 퍼져나간 것이다.
In the most general case, the amplitude and the corresponding probability will also involve the time.
진폭과 그에 대응하는 확률(the amplitude and the corresponding probability)은 시간에 연계되어 있기 마련이다.
[진폭과 그에 대응하는 확률(the amplitude and the corresponding probability): 한마디로 '확률 진폭'. 빈공간에서 움직이는 자유입자의 위치를 특정할(발견할) 확률은 시간과 공간에 따라 마치 파동처럼 변한다. '파동처럼'의 근거는 확률이 마치 파동의 간섭현상과 같았기 때문이다.]
For most of these initial discussions we will suppose that the source always emits the particles with a given energy so we will not need to worry about the time.
하지만 초기[기초단계] 논의에서 [실험장치의 전자 발생기(전자총)는] 항상 동일한 비율로 전자를 방출한다고 놨으므로 시간의 영향은 배제하기로 한다.
[시간에 따라 입자의 발생량이 달라 진다든가 외력에 의해 가속(시간 편미분으로 얻어지는 물리량)되는 경우라면 시간도 고려되어야 한다. 하지만 지금은 기초단계이므로 공간 만을 고려하여 논의를 단순화 하자. 공간만 고려해도 그리 단순한 문제가 아니다.]
But we could, in the general case, be interested in some other questions. Suppose that a particle is liberated at a certain place P at a certain time, and you would like to know the amplitude for it to arrive at some location, say r, at some later time.
하지만 이런 의문[시간을 고려한 의문]을 가질 수 있다. 입자가 어느 순간 임의 위치 P에서 놓여졌다가 다른 시각에 r 이라고 하는 다른 위치에 도착할[발견될] 확율[진폭]은 어떻게 될지 생각해보자.
This could be represented symbolically as the amplitude ⟨r,t=t1|P,t=0⟩. Clearly, this will depend upon both r and t. You will get different results if you put the detector in different places and measure at different times.
이런 문제를 [앞서 배운 브라켓 표기법을 도입하여] 확률진폭으로 표현하면 ⟨r,t=t1|P,t=0⟩ 와 같이 기술 할 수 있을 것이다. 여기에는 확실하게 위치 r 과 시간 t가 포함되어 있다. 감지기를 다른장소에 놓거나 측정 시간을 달리하면 다른 결과를 얻게 된다.
[확율진폭이 시간과 위치의 함수다. 이는 파동이 주파수(시간)와 파수(위치)의 함수라는 것과 같다. 예를 들어 사인파는 sin(kx - ωt) 다.]
This function of r and t, in general, satisfies a differential equation which is a wave equation. For example, in a nonrelativistic case it is the Schrödinger equation.
파동 방정식을 표현한 미분 방정식을 풀면 시간과 위치의 함수가 된다. 일예로 슈뢰딩거 방정식이 바로 비 상대론적인 경우에 해당한다. [슈뢰딩거 방정식은 시간과 공간에 대한 편미분 방정식으로 그 해는 파동 함수다.]
One has then a wave equation analogous to the equation for electromagnetic waves or waves of sound in a gas.
사람들은 파동 방정식(wave equation)을 전자기파나 공기중 음파에 적용해왔다.
However, it must be emphasized that the wave function that satisfies the equation is not like a real wave in space; one cannot picture any kind of reality to this wave as one does for a sound wave.
하지만 그 방정식을 만족하는[시간과 공간의 편미분 방정식의 해인] 파동함수는 공간의 실제 파동이 아니라는 점을 알아야 한다. 음파에 대해 그랬던 것과는 달리 어떠한 면도 적용시킬 수 없다.
Although one may be tempted to think in terms of “particle waves” when dealing with one particle, it is not a good idea, for if there are, say, two particles, the amplitude to find one at r1 and the other at r2 is not a simple wave in three-dimensional space, but depends on the six space variables r1 and r2.
입자를 다룰 때 "입자 파동"이라는 용어를 도입하고 싶겠지만 이는 좋은 생각이 아니다. 왜냐면, 한개의 입자라면 몰라도 만일 입자가 두개라면, 그러니까 r1이라는 위치에 한 입자가 있고 r2에 다른 입자가 있을 때 3차원 공간에서 이를 발견할 확률진폭은 단순한 파동[앞서 예로든 경우 감지기는 일차원의 위치변화 였다]이 아니고 r1과 r2에 [각각 세개의 좌표 값을 가지므로] 여섯개의 공간[위치]변수에 의존하기 때문이다.
If we are, for example, dealing with two (or more) particles, we will need the following additional principle: Provided that the two particles do not interact, the amplitude that one particle will do one thing and the other one something else is the product of the two amplitudes that the two particles would do the two things separately.
만일 두개 혹은 그이상의 복수개의 입자를 다룰경우 다음과 같은 추가적인 원리를 도입할 필요가 있다. 두 입자는 서로 상호작용 하지 말아야 하며, 한 입자가 벌일 사건(thing)과 다른 입자가 벌일 사건(something else)의 확률은 두 각각 확율진폭의 곱하여 구하고 그리하여 구한 확율진폭은 두 입자가 두 사건을 개별적으로 벌린 사건이다.
[개별 입자는 저마다 독립적인 확률진폭을 가지며, 복수의 입자의 확율진폭은 각 입자의 확율진폭의 곱이다. 두 입자를 발견할 위치의 확율은 개별 입자의 확율진폭의 곱이다. 한 입자를 발견하고 다른 입자를 발견할 확율진폭은 개별 입자의 확율진폭의 곱이다. 상호작용이 없는 두 확율에서 '~고(and)'는 확율 곱을 의미한다.]
For example, if ⟨a|s1⟩ is the amplitude for particle 1 to go from s1 to a, and ⟨b|s2⟩ is the amplitude for particle 2 to go from s2 to b, the amplitude that both things will happen together is
예를 들어 입자1이 시작위치 s1에서 a 로 갈 확률진폭을 ⟨a|s1⟩라고 하고 입자2가 시작위치 s2에서 b로 갈 확율진폭을 ⟨b|s2⟩라 한다면 두 일이 일어날 확율진폭은 각 확율진폭의 곱으로 다음과 같이 표현한다.
⟨a|s1⟩⟨b|s2⟩
There is one more point to emphasize. Suppose that we didn’t know where the particles in Fig. 3–2 come from before arriving at holes 1 and 2 of the first wall. We can still make a prediction of what will happen beyond the wall (for example, the amplitude to arrive at x) provided that we are given two numbers: the amplitude to have arrived at 1 and the amplitude to have arrived at 2.
한가지 더 일러둘 것이 있다. 우리가 그림 3-2의 그림에서 입자가 구멍 1과 2에 도착하기 전에 첫째 벽의 어디에서 왔는지 모른다고 하자. 그렇더라도 우리는 [구멍 1과 2가 뚤린 두번째] 벽을 지난 이후 행적(말하자면 x의 위치에 도달할 확율진폭)을 이미 알고 있는 두 값(numbers), 그러니까 구멍1에 도착할 확율진폭, 구멍 2에 도착할 확율진폭을 가지고 예측할 수 있다.
In other words, because of the fact that the amplitude for successive events multiplies, as shown in Eq. (3.6), all you need to know to continue the analysis is two numbers—in this particular case ⟨1|s⟩ and ⟨2|s⟩.
부연하자면 연속된 사건[구멍 통과]의 확율진폭은 식 (3.6)처럼 곱하여 구할 수 있기 때문에 향후 진행될 사건의 분석을 위해서는 두 숫자 [복소수 값으로 표현될], 두 입자의 예에서는 ⟨1|s⟩ 과 ⟨2|s⟩ 만 알면 된다.
These two complex numbers are enough to predict all the future. That is what really makes quantum mechanics easy. It turns out that in later chapters we are going to do just such a thing when we specify a starting condition in terms of two (or a few) numbers.
앞으로 벌어질 사건[어느 위치에 입자가 있을지]은 이들 두개의 복소수들로 예측하기에 충분하다. 이점[각 입자의 개별적인 확율 곱으로 복수 입자의 사건을 예측할 수 있다는 원리]이 바로 양자역학을 참으로 쉽게 한다. 앞으로 이어질 장에서 두개(입자마다 복수개)의 시작조건[초기조건]을 나타내는 숫자[복소수]를 가지고 일어날 사건을 예측 할 수 있다는 것을 보게 될 것이다.
Of course, these numbers depend upon where the source is located and possibly other details about the apparatus, but given the two numbers, we do not need to know any more about such details.
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