[파인만 양자역학] 3-2. 이중 슬릿 간섭 무늬(The two-slit interference pattern)
[참조]차교수와 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/3강[강의]/[원문]
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[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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3. Probability Amplitudes
3장. 확률 진폭
3–2. The two-slit interference pattern
3-2. 이중 슬릿 간섭 무늬
Now we would like to consider a matter which was discussed in some detail in Chapter 1. This time we will do it with the full glory of the amplitude idea to show you how it works out. We take the same experiment shown in Fig. 3–1, but now with the addition of a light source behind the two holes, as shown in Fig. 3–3.
이제 1장에서 자세히 다뤘던 사항들을 조목조목 들여다보기로 한다. 이번에는 그런일[전자의 행동이 파동처럼 간섭무늬를 일으킨 사건]이 어떻게 일어날 수 있었는지 확률진폭이라는 멋진 개념을 제대로 활용하여 보겠다. 그림 3-1에서 봤던 것과 똑같은 구성의 실험장치를 가져오되 구멍뒤에 그림 3-3같이 두개의 구멍 사이에 광원을 배치하였다.
In Chapter 1, we discovered the following interesting result. If we looked behind slit 1 and saw a photon scattered from there, then the distribution obtained for the electrons at x in coincidence with these photons was the same as though slit 2 were closed.
1장에서 우리는 아주 흥미로운 것들을 알아 냈었다. 만약에 격자 1 뒤에서 광자가 산란하는 것[광원에서 나온 광자가 지나가는 전자와 부디쳐 반짝임]을 관찰했다고 할 때, x 에서 이 광자들과 연관된 전자들이 발견될 분포[검지기가 위치한 벽면에 도달할 전자들의 분포]는 구멍 2를 막았을 때와 같다[간섭 현상이 없는 것과 같은 결과를 얻었다.]
The total distribution for electrons that had been “seen” at either slit 1 or slit 2 was the sum of the separate distributions and was completely different from the distribution with the light turned off.
구멍 1 또는 구멍 2든 어디에서 봤던간에 전자의 총 분포는 구멍 중 하나를 막고 관찰한 분포를 합친 것과 같은데 이는 광원이 없었을 때와는 완전히 다른 분포였다.
이는 우리가 광원을 선택할 때 파장이 아주 짧은 광원[큰 에너지를 가진]을 선택하면 그렇게 된다. 만일 긴 파장의 광원을 사용하여 어느 구멍을 통과 해서 산란을 일으켰는지 분간할 수 없게 된다면 도착지에서 전자의 분포는 광원이 없을때와 동일 하게된다.
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1장에서 알았던 사실들,
- 구멍을 한개만 열었을때 차단벽에 놓인 검지기의 x 위치에서 전자가 발견될 확율분포는 P1 또는 P2로 전자나 총알이나 동일하게 나온다. 이를 전자가 입자라는 근거가 됐다.
- 구멍을 두개 열었을 때 수면파는 구멍1과 2를 통과한 파동이 간섭을 일으켜 (c)와 같은 모습을 보여준다.
- 구멍을 두개 열었을때 구멍1과 2를 통과한 전자는 파동처럼 (c)와 같은 간섭 무늬를 보여준다. 이를 근거로 전자의 파동설을 제기됐다.
- 구멍 뒤에 전자가 구멍 1을 지나는지 2를 지나는지 관찰하려고 광원을 배치했다.
- 두 구멍을 였고 실험을 해도 전자의 분포를 보니 총알의 분포 P'_12 와 같이 나타났다.
- 긴 파장의 광원(에너지가 아주 작음)을 가지고 관찰 했더니 간섭 무늬 P_12 가 나타났다.
[이를 두고 관찰하면 입자성을 보이고 관찰하지 않으면 파동성을 보인다고 설명하는 경우가왕왕 보이는데 이는 옳지 않다는 것을 이번에 보여주려고 한다.]
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Let’s examine what is happening by using our new notation and the principles of combining amplitudes. To simplify the writing, we can again let ϕ1 stand for the amplitude that the electron will arrive at x by way of hole 1, that is,
우리가 배운 새로운 표기방법을 사용하여 확률진폭을 합치는 원리에 무슨일이 벌어진 것인지 살펴보자. 표기를 단순화를 위해 구멍 1을 통과한 전자의 확율진폭을 ϕ_1 라고 표기하자.
Similarly, we’ll let ϕ2 stand for the amplitude that the electron gets to the detector by way of hole 2:
같은 이유로 구멍 2를 통과하여 검지기에 도달할 확률진폭 ϕ_2 는 다음과 같이 표현된다.
These are the amplitudes to go through the two holes and arrive at x if there is no light.
이 둘은 관측광원이 없는 상태에서 두 구멍을 통과하여 검지기 x 에 도달할 각각의 확률진폭들이다.
Now if there is light, we ask ourselves the question: What is the amplitude for the process in which the electron starts at s and a photon is liberated by the light source L, ending with the electron at x and a photon seen behind slit 1?
이제 광원이 있다면 이런 질문을 스스로 해보자. s에서 출발한 전자가 x 에 도달하는 과정에서 격자 1의 뒤에 있는 L에서 방출된 광자를 봤을 확률진폭은 어떻게 될까? [다소 구어체 문장이다.]
Suppose that we observe the photon behind slit 1 by means of a detector D1, as shown in Fig. 3–3, and use a similar detector D2 to count photons scattered behind hole 2. There will be an amplitude for a photon to arrive at D1 and an electron at x, and also an amplitude for a photon to arrive at D2 and an electron at x. Let’s try to calculate them.
격자 1 뒤의 광자를 그림 3-3에서 보인 것처럼 D1 이라고 명명한 장치로 관측 한다고 해보자. 이와 같은 용도의 장치 D2가 구멍[격자]2 뒤에서 산란된 광자를 세고 있다고 하자. 장치 D1에 도달한 광자의 확률진폭과 x 에 도달한 전자의 확률진폭이 있을 것이다. 당연히 D2에 도달한 광자의 확률진폭과 x 에 도달한 확률진폭도 있다. 이것들을 계산해 보기로 하자.
Although we don’t have the correct mathematical formula for all the factors that go into this calculation, you will see the spirit of it in the following discussion.
격자 1 뒤의 광자를 그림 3-3에서 보인 것처럼 D1 이라고 명명한 장치로 관측 한다고 해보자. 이와 같은 용도의 장치 D2가 구멍[격자]2 뒤에서 산란된 광자를 세고 있다고 하자. 장치 D1에 도달한 광자의 확률진폭과 x 에 도달한 전자의 확률진폭이 있을 것이다. 당연히 D2에 도달한 광자의 확률진폭과 x 에 도달한 확률진폭도 있다. 이것들을 계산해 보기로 하자.
Although we don’t have the correct mathematical formula for all the factors that go into this calculation, you will see the spirit of it in the following discussion.
비록 우리가 이 계산을 위해 모든 요인을 감안한 합당한 수학공식을 모두 가지고 있지는 않다하더라도 다음과 같이 정성적(spirit of it)으로 논할 수 있다.
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구멍 뒤에 설치한 광자 검지기의 확률분포: a 와 b
- 검지기 안으로 광자가 들어온 이유는 전자가 지나면서 광자를 산란 시켰기 때문이다. 다라서 전자가 관측 되었다는 뜻이 된다.
- 모든 전자가 광자를 산란 시키지 않는다. 관측되지 않은 전자도 있다.
- 구멍 1을 통과한 전자에 의해 산란된 광자라도 낮은 확율이지만 D2 검지기에서 관찰될 수 있다.
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First, there is the amplitude ⟨1|s⟩ that an electron goes from the source to hole 1. Then we can suppose that there is a certain amplitude that while the electron is at hole 1 it scatters a photon into the detector D1. Let us represent this amplitude by a. Then there is the amplitude ⟨x|1⟩ that the electron goes from slit 1 to the electron detector at x. The amplitude that the electron goes from s to x via slit 1 and scatters a photon into D1 is then
첫째, s 에서 출발해 구멍 1을 통과할 확률진폭은 ⟨1|s⟩ 다. 구멍 1을 통과한 전자가 광자를 산란시켜 D1에 관측될 확률진폭이 어느정도 있을 거라고 짐작할 수 있다. 이 확율 진폭을 a 라 하자. 격자[구멍과 격자를 혼용중이다] 1에서 위치 x의 검지기에 도달할 확율진폭은 ⟨x|1⟩이다. s 에서 출발하여 구멍 1을 지난 전자 중 광자를 산란시켜 D1 으로 들어가게 만든 전자의 확율진폭은 다음과 같다.
Or, in our previous notation, it is just aϕ_1.
앞서 정의한 확률진폭의 표기법을 가져와서 간단하게 aϕ_1 라고 표현하자. [모든 전자가 광자를 산란시킨 것은 아니다. a 는 광자를 산란시킨 일부 전자의 확률이다.]
There is also some amplitude that an electron going through slit 2 will scatter a photon into counter D1. You say, “That’s impossible; how can it scatter into counter D1 if it is only looking at hole 1?” If the wavelength is long enough, there are diffraction effects, and it is certainly possible. If the apparatus is built well and if we use photons of short wavelength, then the amplitude that a photon will be scattered into detector 1, from an electron at 2 is very small
또한 격자 2를 통과하여 광자를 산란시켜 D1으로 보낸 전자의 확률진폭도 있다. 그렇다면 이런 의문을 제기할 수도 있다. " 불가능하지 않아? 장치 D1은 구멍1만 관찰 할텐데 어떻게 구멍 2를 통과한 전자가 산란시킨 광자를 감지 한다는 거지?" 만일 회절효과를 일으킬 만큼 광원의 파장이 아주 길었다면 확률진폭은 아주 작긴 해도 불가능하지 않다.
But to keep the discussion general we want to take into account that there is always some such amplitude, which we will call b. Then the amplitude that an electron goes via slit 2 and scatters a photon into D1 is
하지만 논의의 일관성을 위해 b라고 하는 확률진폭을 기술해 보기로 하자. [파장이나 기타 요인들을 따지지 않고 확률진폭 만을 고려하기로 했다.] 격자 2를 통과하고 광자를 산란시켜 장치 D1로 보낸 전자가 x위치의 검지기에 도착할 확률 진폭은 다음과 같다.
The amplitude to find the electron at x and the photon in D1 is the sum of two terms, one for each possible path for the electron. Each term is in turn made up of two factors: first, that the electron went through a hole, and second, that the photon is scattered by such an electron into detector 1; we have
결국 x 에서 전자가 발견되고 D1에 들어간 광자를 발견할 확율진폭은 위의 두항을 더해서 구한다. 전자의 가능한 각 경로를 더한 셈이다. 각 항은 결국 두가지 요인을 반영한 것인데, 첫째로는 전자가 한 구멍으로 지나갔다는 것, 둘째로는 광자가 그 구멍을 통과한 전자에 의해 산란되어 감지장치 D1에 들어갈 확률진폭 이다. 정리하면 다음과 같이 말할 수 있다.
[한 전자는 두 구멍을 지날 수 없다. s 를 떠난 전자는 구멍 1혹은 구멍 2를 지나 x 에 도달한다. 도달하는 동안 광자를 산란 시키는데 산란된 광자가 D1에서 관측될 확율진폭은 다음과 같다.]
(3.8)We can get a similar expression when the photon is found in the other detector D2. If we assume for simplicity that the system is symmetrical, then a is also the amplitude for a photon in D2 when an electron passes through hole 2, and b is the amplitude for a photon in D2 when the electron passes through hole 1. The corresponding total amplitude for a photon at D2 and an electron at x is
광자 관측장치 D2에 대해서도 비슷한 표현을 구할 수 있다. 만일 우리가 시스템의 대칭성을 고려한다면 a 는 구멍 2를 통과한 전자에 의해 산란되어 D2에 관측된 광자의 확률진폭이 되고 b 는 구멍 1을 통과한 전자에 의해 산란되어 D2에 관측된 광자의 확률진폭이다. D2에서 관측된 총 확율진폭과 x 에서 전자의 확율진폭은 다음과 같다.
(3.9)[ a와 b는 D1과 D2의 광자관측 확율 진폭이다. 대칭(symmetrical)이라는 의미는 D1 과 D2의 목적이 같았기 때문에 두 장치의 광자관측 확률진폭도 같다는 뜻이다. 즉, a 의 경우 구멍 1을 통과한 전자에 의해 산란된 광자가 D1에서 관측될 확율과 구멍 2를 통과한 전자에 의해 산란된 광자가 D2 관측될 확율은 같다.]
Now we are finished. We can easily calculate the probability for various situations. Suppose that we want to know with what probability we get a count in D1 and an electron at x. That will be the absolute square of the amplitude given in Eq. (3.8), namely, just |aϕ1+bϕ2|^2.
이제 최종 정리를 해보자. 다양한 상황 하에서 경우를 따져 확율을 쉽게 계산 할 수 있게 됐다. 우리가 알고 싶었던 것은 D1에 감지된 [광자의] 수를 가지고 x 에 도달한 전자의 확율을 알고 싶었다. 확률은 확률진폭의 식 (3.8)을 절대값 하여 제곱으로 구하면 |aϕ1+bϕ2|^2 이다.
[D1에서 감지될 광자는 구멍 1을 통과한 전자에 의해 산란된 광자가 대부분 이지만 조건에 따라 구멍 2를 통과한 전자에 의해 산란된 광자일 확율도 있다.]
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식 (3.8)을 들여다 보자.
aϕ_1 + bϕ_2 = ⟨x|1⟩a⟨1|s⟩ + ⟨x|2⟩b⟨2|s⟩
s에서 시작해서 x 도달한 전자의 확율진폭이다. 단, 중간에 관찰자 D1 이라는 관찰자를 거쳤다. 따라서 총 확율진폭은 두 관찰자 경로의 합이다.
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Let’s look more carefully at this expression. First of all, if b is zero—which is the way we would like to design the apparatus—then the answer is simply |ϕ1|^2 diminished in total amplitude by the factor |a|^2. This is the probability distribution that you would get if there were only one hole—as shown in the graph of Fig. 3–4(a).
이 수식을 조심스레 들여다 보자. 무엇보다도 b가 0이면 — 우리가 만들고 싶은 장치이기도 하다 — 총 확율진폭에서 |a|^2의 요인 만으로 축소되어 |ϕ1|^2 가 최종적으로 남는다. 이는 확율분포가 그림 3-4(a) 의 모습처럼 오직 한개의 구멍만 있는 경우로 귀결된다. [구멍이 하나라면 간섭이 일어나지 않는다. 따라서 입자의 확율분포를 보인다.]
On the other hand, if the wavelength is very long, the scattering behind hole 2 into D1 may be just about the same as for hole 1. Although there may be some phases involved in a and b, we can ask about a simple case in which the two phases are equal.
한편 만일 아주 긴 파장의 광원을 사용한 경우 구멍 2의 뒤에서 생기는 산란으로 인한 광자가 구멍 1을 관찰하기 위해 설치한 D1으로 들어갈 수도 있다. 이 경우 a와 b 사이의 위상(phase)을 따져보긴 해야 겠지만 문제를 단순화 하기 위해 두 위상이 같다고 하자.
If a is practically equal to b, then the total probability becomes |ϕ1+ϕ2|^2 multiplied by |a|^2, since the common factor a can be taken out. This, however, is just the probability distribution we would have gotten without the photons at all.
만일 a 와 b가 실질적으로 같다면 총 확율은 각 항에 공통인수를 빼낼 수 있으므로 |a|^2을 곱한 |ϕ1+ϕ2|^2가 된다. 이 확율 분포는 광자를 감안하지 않았을 때와 동일하다 [관찰자가 있으나 없으나 같다.]
Therefore, in the case that the wavelength is very long—and the photon detection ineffective—you return to the original distribution curve which shows interference effects, as shown in Fig. 3–4(b).
따라서 파장이 아주 긴 광원을 사용한 경우에도 그리고 광자 검출이 효과가 없었어도 그림 3-4(b)와 같은 간섭 효과를 보여주는 원래의 확율분포를 볼 수 있다.
In the case that the detection is partially effective, there is an interference between a lot of ϕ_1 and a little of ϕ_2, and you will get an intermediate distribution such as is sketched in Fig. 3–4(c).
관찰이 부분적으로 효과를 본 경우, 말하자면 ϕ_1의 간섭이 강하고 과 ϕ_2는 약할 경우 그림 3-4(c) 같은 다소 중간적인 [치우친] 확율 분포를 얻게 된다.
Needless to say, if we look for coincidence counts of photons at D2 and electrons at x, we will get the same kinds of results. If you remember the discussion in Chapter 1, you will see that these results give a quantitative description of what was described there.
두말할 필요도 없이 D2의 관찰장치와 x 에 도달한 전자의 확율진폭을 연관시켜 놓으면 동일한 결과를 얻을 수 있다. 이미 1장에서 했던 논의를 기억한다면, 그때 서술했던 사항들의 정량적 결과를 얻을 수 있다. [1장에서 확율진폭을 갖는 입자의 파동성을 사고실험으로 논의 했었다. 이제는 수식으로 보여준다.]
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이제 흔히 범하는 실수를 막아보고자 이점을 강조해 보고자한다. D1 과 D2 에서 얼마나 많은 광자가 관측되는지 상관 없이 x 에 도착하는 전자의 확률진폭 만을 알고 싶다고 해보자.
Should you add the amplitudes given in Eqs. (3.8) and (3.9)?
식 (3.8) 과 (3.9)에 표현된 확률진폭을 더하면 될까?
No! You must never add amplitudes for different and distinct final states.
그렇지 않다! 최종 상태가 다른 혹은 구분되는 진폭은 절대 더하면 않된다.
[식 (3.8)은 관측기 D1을 놓고 실시한 최종 실험치를 보여준다. 식 (3.9)는 관측기 D2를 놓고 실시한 최종 실험치를 보여준다. 즉 두 식은 최종 상태가 다른 확률진폭이다.]
Once the photon is accepted by one of the photon counters, we can always determine which alternative occurred if we want, without any further disturbance to the system. Each alternative has a probability completely independent of the other.
두 광자 계수기 중 어느 한곳에 광자가 하나라도 관측되면 시스템을 방해하지 않고[관측 실험 환경을 그대로 둔채] 언재든 다른 결과를 낼 수 있다. 그때마다 얻은 각각 다른 결과의 확율은 서로 완전히 독립적이다.
[확율은 실험 할때 마다 다른 결과를 낼 수 있다는 점에 유의하자. 이는 확율에 관한 일반적인 상식이다. 주사위 놀이나 복권 당첨의 확율을 이야기 할때 이전의 결과가 향후 번호에 아무런 영향을 주지 못하는 것과 같다. 확율은 기억효과가 없다는 점을 알아두자.]
To repeat, do not add amplitudes for different final conditions, where by “final” we mean at that moment the probability is desired—that is, when the experiment is “finished.”
다시말하지만 서로다른 최종상태에 대한 확율은 더하면 않된다. 이때 확율을 의미할 때 "최종"이라는 말은 실험이 종료했을 시점을 말한다.
[주사위의 눈이 나올 확율은 1/6이다. 한두번 실시해서는 이 확율이 나오지 않는다. 충분히 실험을 '완료'한 후에 확율을 따져야 한다.]
You do add the amplitudes for the different indistinguishable alternatives inside the experiment, before the complete process is finished. At the end of the process you may say that you “don’t want to look at the photon.” That’s your business, but you still do not add the amplitudes.
당신은 [실험]과정이 완전히 종료되기 전에 실험 도중의 구분할 수 없는 각각의 확율진폭을 더하고 싶을 것이다. 실험이 끝에 이르러서는 "광자에 대해선 알고싶지 않다"고 말할지도 모른다. 그렇게 말하거나 말거나 상관 없는데 확률진폭을 더하는 짓은 하지 말자.
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Nature does not know what you are looking at, and she behaves the way she is going to behave whether you bother to take down the data or not.
자연은 당신이 뭘 관찰하고 있는지 모른다. 자연은 당신이 어떤 자료를 얻으려는지 상관 하지 않고 움직인다.
[관찰하면 입자성을 보이고 관찰하지 않으면 파동성을 보인다고 설명하는 경우가 왕왕 있는데 이는 옳지 않다. 자연은 당신이 뭘 하든 상관 없이 본성대로 작동한다.]
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So here we must not add the amplitudes.
그러니 지금 진폭을 더하면 않된다.
[실험이 끝나지 않은 지금, 광자 관측장치 D1 만 가지고 측정한 확률진폭 식(3.8)과 관측장치 D2 만 가지고 구한 확율진폭, 식(3.9)을 더해서 확율을 구하면 않된다. 즉, |(aϕ_1+bϕ_2) + (bϕ_1+aϕ_2)|^2 는 않된다.]
We first square the amplitudes for all possible different final events and then sum. The correct result for an electron at x and a photon at either D1 or D2 is
모든 가능한 개별적인 결과를 먼저 구하고 난 후 취합해야 한다. D1과 D2의 광자 확률진폭과 전자가 x 에 도달할 바른 확률은 다음과 같다.
잘 읽었어요 !! 훌륭합니다 ^^
답글삭제감사합니다.
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