[파인만 양자역학] 3-3. 결정체에서 산란(Scattering from a crystal)
[참조]차교수와 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/3강[강의]/[원문]
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[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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3. Probability Amplitudes
3장. 확률 진폭
3–3. Scattering from a crystal
3-3. 결정체에서 산란
Fig. 3–5.Measuring the scattering of neutrons by a crystal.
Our next example is a phenomenon in which we have to analyze the interference of probability amplitudes somewhat carefully. We look at the process of the scattering of neutrons from a crystal.
다음으로 우리가 해볼 실험은 확률진폭의 간섭을 좀더 세심하게 분석해볼 필요가 있는 현상이 발생한 경우다. 결정체에서 산란된 중성자가 보여주는 현상을 들여다 보려고 한다.
[먼곳에서 입사하는 중성자: 전기적 극성이 없는 중성자들이 평행으로 결정체에 입사한다. 원자들이 규칙적으로 배열된 결정체는 매우 촘촘한 회절격자가 된다. 중성자들은 이 결정체를 구성하는 원자들의 핵과 핵사이의 간격을 통과하며 회절 현상을 일으킨다.]
Suppose we have a crystal which has a lot of atoms with nuclei at their centers, arranged in a periodic array, and a neutron beam that comes from far away. We can label the various nuclei in the crystal by an index i, where i runs over the integers 1, 2, 3, …, N, with N equal to the total number of atoms.
핵을 중심에 둔 수많은 원자들이 규칙적으로 배열(periodic array)된 결정체가 있다고 하자. 이 결정체에 멀리서 중성자를 쐈다[멀리서: 결정체에 도달한 중성자가 평행하게 입사한다고 가정.] 결정체 내의 수많은 원자들에 일일이 번호를 메기기 위해 i 라는 색인을 붙이면, i 는 1, 2, 3 ... , N 까지 가게 된다. i는 정수이고 N은 결정체 내의 원자들의 총 수가 된다.
The problem is to calculate the probability of getting a neutron into a counter with the arrangement shown in Fig. 3–5. For any particular atom i, the amplitude that the neutron arrives at the counter C is the amplitude that the neutron gets from the source S to nucleus i, multiplied by the amplitude a that it gets scattered there, multiplied by the amplitude that it gets from i to the counter C.
실험의 목적은 그림 3-5와 같이 준비된 실험에서 검지기(neutron counter)에 중성자가 들어갈 확율(probablity)을 계산하는 것이다. [결정체]내의 어떤 원자 i에 대하여 중성자가 검지기 C 에 들어갈 확율진폭[중성자가 결정체 내의 i번째 원자에 의해 산란된 후 검지기 C에 들어갈 "확률진폭"]은 중성자 발생기 S 에서 i번째 원자핵에 도착할 확율진폭에 원자에 의해 산란될 확율진폭 a 를 곱하고 이어서 i 번째 원자에 의해 산란된 중 성자가 감지기 C 로 들어갈 확율 진폭을 곱하여 구한다.
[실험의 목적에 유의하자. 목표는 "확률"을 구하는 것이다. 확률은 먼저 중성자의 경로에 대한 "확률진폭"을 먼저 구하고 이를 절대값 제곱하여 확률을 구한다.]
Let’s write that down:
S에서 출발한 중성자가 i 번째 원자의 핵에 충돌하여 검지기 C 에 들어갈 확률진폭은 아래와 같다.
.......................... (3.11)In writing this equation we have assumed that the scattering amplitude a is the same for all atoms. We have here a large number of apparently indistinguishable routes. They are indistinguishable because a low-energy neutron is scattered from a nucleus without knocking the atom out of its place in the crystal—no “record” is left of the scattering.
[확율진폭을] 식(3.11)과 같이 쓰게 된 이유 [중성자가 i번째 원자에 의해 산란 될] 확률진폭 a가 모든 원자에 대해 동일하다고 가정했기 때문이다. 이때 수많은 구분 불가능(indistinguishable)한 경로가 있다는 것을 고려하자. "구분불가능"이라고 한 것은 에너지가 낮은 중성자가 결정체 내에 위치한 원자의 핵에 부디쳐 산란되면서 아무런 기록(record)을 남기지 않았다는 뜻이다.
["기록"은 관측되었음을 뜻한다. 확률진폭 a는 중성자가 어느 원자에 부디쳤는지 구분하지 않고 일반화한 확률진폭이다. 중성자를 산란시킨 원자도 있고 산란시키지 않은 원자도 있다. 어느 원자에 부디쳤는지 "확률"로 나타내기 위한 "진폭"일 뿐이다.]
According to the earlier discussion, the total amplitude for a neutron at C involves a sum of Eq. (3.11) over all the atoms:
앞서 논의한 대로 C에 검출될 중성자의 총 확률진폭은 식(3.11)을 원자에 대하여 모두 더하여 구한다.
[3-1 절의 "확률진폭을 결합하는 원리"를 상기하자. 중성자가 검지기 C에 도달하는 동안 취한 경로상의 확률진폭을 구한다. 결정체에는 엄청나게 많은 원자가 규칙적인 배열을 하고있다. 이는 엄청나게 많은 수의 구멍(slit)이 있다는 뜻이다. 검지기 C에 도착한 중성자는 이런 수많은 경로중 하나를 거쳤다고 가정한다. 이때 어느 경로인지 특정하지 않았다.]
.................... (3.12)Because we are adding amplitudes of scattering from atoms with different space positions, the amplitudes will have different phases giving the characteristic interference pattern that we have already analyzed in the case of the scattering of light from a grating.
서로다른 공간에 위치한 원자들에 의해 산란될 확률진폭을 더하는 이유는 앞서 회절격자를 통과하는 빛의 경우에서 살펴 봤던 것처럼 확률진폭이 결정체의 원자들 사이를 지나면서 경로차를 일으켜 간섭무늬를 만들어 낼 것이기 때문이다.
[원자들이 규칙적인 배열을 하고있는 결정체는 입사하는 중성자(전기적 극성이 없다)에 대해 매우 촘촘한 회절격자의 역활을 한다. 회절격자의 간격이 촘촘할수록 간섭무늬는 선명해진다.]
The neutron intensity as a function of angle in such an experiment is indeed often found to show tremendous variations, with very sharp interference peaks and almost nothing in between—as shown in Fig. 3–6(a). However, for certain kinds of crystals it does not work this way, and there is—along with the interference peaks discussed above—a general background of scattering in all directions.
이 실험에서 검지기의 각도상 위치에 따른 중성자의 세기는 아주 변화무쌍한 모습을 보이게 되는데, 그림 3-6(a) 처럼 매우 선명한 정점과 아무것도 없는 위치가 확연히 드러난다. 앞서 살펴 봤던 것처럼 모든 결정체가 이렇게 선면한 띠모양 간섭무늬를 만들어 내는 것은 아니다. 간섭띠 사이사이로 전방향에 걸쳐 퍼져있기도한다(background scattering in all direction).
[결정체는 매우 촘촘한 회절격자이기 때문에 나타나는 간섭무늬는 매우 선명하다. 결정체 내의 원자 배열 구조에 따라 전방향으로 간섭띄를 보여주기도 한다. 참조: 2-3. 결정체의 회절]
We must try to understand the apparently mysterious reasons for this. Well, we have not considered one important property of the neutron. It has a spin of one-half, and so there are two conditions in which it can be: either spin “up” (say perpendicular to the page in Fig. 3–5) or spin “down.” If the nuclei of the crystal have no spin, the neutron spin doesn’t have any effect. But when the nuclei of the crystal also have a spin, say a spin of one-half, you will observe the background of smeared-out scattering described above. The explanation is as follows.
왜 이런 기이한 현상이 일어나는지 살펴봐야 한다. [이런 현상을 이해하려면] 중성자에 대한 아주 특이한 특성을 따져봐야 한다. 중성자의 스핀은 1/2이기 때문에 두가지 경우를 가질 수 있다. 그 하나는 "업(up)" 스핀이고 다른 하나는 "다운(down)" 스핀이다. 만일 결정체를 구성하는 원자의 핵이 스핀을 가지고 있지 않다면 중성자의 스핀으로 인한 효과는 없다. 하지만 결정체의 핵이 스핀을 가지고 있고, 이를테면 1/2같은, 선명한 간섭무늬 외에 배경으로 삐어져 나온 산란된 모습을 가질 수 있다.
If the neutron has one direction of spin and the atomic nucleus has the same spin, then no change of spin can occur in the scattering process.
만일 중성자의 스핀이 한방향이고 결정체의 원자도 같은 방향의 스핀이라면 산란된 이후의 중성자는 아무런 영향도 없다.
If the neutron and atomic nucleus have opposite spin, then scattering can occur by two processes, one in which the spins are unchanged and another in which the spin directions are exchanged.
만일 중성자와 결정체의 원자가 서로 반대의 스핀을 가지는 경우 산란의 두가지 과정으로 나뉘게 된다. 하나는 스핀이 변하지 않거나 다른 하나는 스핀의 방향의 바뀌는 경우다.
This rule for no net change of the sum of the spins is analogous to our classical law of conservation of angular momentum.
이는 고전역학에서 각운동량 보존 법칙으로 이 스핀 합의 불변을 설명 할 수 있다.
We can begin to understand the phenomenon if we assume that all the scattering nuclei are set up with spins in one direction. A neutron with the same spin will scatter with the expected sharp interference distribution.
산란을 일으킨 모든 핵이 한방향의 스핀을 가졌다고 가정 해놓고 이 현상을 이해해 보기로 한다. 동일한 스핀을 가진 중성자의 경우 예상한 대로 선명한 간섭무늬를 보여준다.
What about one with opposite spin? If it scatters without spin flip, then nothing is changed from the above; but if the two spins flip over in the scattering, we could, in principle, find out which nucleus had done the scattering, since it would be the only one with spin turned over.
그렇다면 서로 반대의 스핀을 가진 경우는 어떻게 될까? 만일 스핀 뒤집힘(spin flip)이 없이 산란되면 선명한 간섭무늬가 나타난다. 하지만 두 스핀이 뒤집어 질 경우 원칙적으로 어느 핵이 산란을 일으켰는지 알아낼 수 있다. 스핀이 뒤집어진 핵을 집어낼 수 있기 때문이다.
[실제로 산란을 일으킨 핵을 특정해 낼 수는 없다. 하지만 중성자가 산란되면서 스핀이 뒤집힌 핵이 있다는 것은 분명하다. 즉, 어딘가에 흔적을 남겼다는 뜻이다. 이 흔적은 바로 관측기록이 되는 셈이다. 관찰의 두 측면, 능동적 관찰과 수동적 관측의 차이는 없는가?]
Well, if we can tell which atom did the scattering, what have the other atoms got to do with it? Nothing, of course. The scattering is exactly the same as that from a single atom.
좋다. 만일 어떤 원자가 산란을 일으켰다면 다른 원자들은 뭘 하고 있었을까? 산란은 한 원자가 그랬던 것처럼 다른 원자에서도 똑같이 일어날 수 있다.
[산란이 원자를 봐가며(구분해가며) 일어나는게 아니다. 확률적인 문제다.]
Fig. 3–6.The neutron counting rate as a function of angle: (a) for spin zero nuclei; (b) the probability of scattering with spin flip; (c) the observed counting rate with a spin one-half nucleus.
To include this effect, the mathematical formulation of Eq. (3.12) must be modified since we haven’t described the states completely in that analysis. Let’s start with all neutrons from the source having spin up and all the nuclei of the crystal having spin down. First, we would like the amplitude that at the counter the spin of the neutron is up and all spins of the crystal are still down. This is not different from our previous discussion. We will let a be the amplitude to scatter with no spin flip.
이 효과[확률의 문제]를 다루기 위해 식 (3.12)의 수식은 수정되어야 한다. 스핀 뒤집힘을 온전히 반영하지 않았기 대문이다. 먼저 발생기에서 출발한 모든 중성자들이 업-스핀을 가졌다고 하자. 그리고 결정체 내의 모든 핵들은 다운-스핀을 가졌다고 하자. 첫째, [산란 후]계측기에 검지된 모든 중성자가 여전히 업-스핀이고 결정체의 핵 역시 모두 다운-스핀일 확률진폭을 생각해보자. 이럴경우 앞서 다뤘던 결과와 다를 것이 없다[간섭무늬가 나타난다.] 이 경우를 스핀 뒤집힘 없는 산란의 확률진폭이라고 하자.
The amplitude for scattering from the i-th atom is, of course,
i-번째 원자로부터 산란된 확률진폭은 다음과 같이 표현될 수 있다[식 (3.12)와 같음],
Since all the atomic spins are still down, the various alternatives (different values of i) cannot be distinguished. There is clearly no way to tell which atom did the scattering. For this process, all the amplitudes interfere.
모든 원자의 스핀이 여전히 다운이기 때문에 수많은 산란을 구분 할수 없다. 다시말해 몇번째 원자에로 부터 산란됐는지 알길이 없다. 그렇기 때문에 모든 확률진폭이 간섭한다.
[각 중성자 마다 어디로 갈지(어느각도로 산란될지)는 확률진폭을 가진다. 각 중성자의 산란진폭들 사이에 간섭이 일어난다. 확률과 확률진폭의 구분]
We have another case, however, where the spin of the detected neutron is down although it started from S with spin up. In the crystal, one of the spins must be changed to the up direction—let’s say that of the k-th atom.
이번에는 다른 경우를 보자. 발생기에서 업-스핀으로 방출된 중성자가 산란 후 다운-스핀으로 검출된 경우다. 그렇다면 결정체 내의 한 원자는 반드시 업-스핀으로 변했어야 한다[운동량 보전]. 우리는 이 원자를 k-번째 원자라 하자.
We will assume that there is the same scattering amplitude with spin flip for every atom, namely b. (In a real crystal there is the disagreeable possibility that the reversed spin moves to some other atom, but let’s take the case of a crystal for which this probability is very low.) The scattering amplitude is then
모든 원자는 동일하게 스핀이 뒤집어 질 확율을 가지고 있다고 가정 할 수 있다. 이 확율을 b 라고 하자. (실제 결정체에서는 스핀이 뒤집어진 원자가 다른 원자를 뒤집을 가능성이 다소 있지만 워낙 낮은 확율 이므로 무시하기로 한다.) 산란될 확율은 다음과 같다.
................... (3.13)If we ask for the probability of finding the neutron spin down and the k-th nucleus spin up, it is equal to the absolute square of this amplitude, which is simply |b|^2 times |⟨C|k⟩⟨k|S⟩|^2. The second factor is almost independent of location in the crystal, and all phases have disappeared in taking the absolute square. The probability of scattering from any nucleus in the crystal with spin flip is now
만일 다운-스핀 중성자와 k-번째 업-스핀 원자를 찾아낼 확율이 어떻게 되는지 알고 싶다면 확률진폭을 제곱하여 구할 수 있다. 간단하게 |b|^2에 |⟨C|k⟩⟨k|S⟩|^2를 곱하면 된다. 결정체 내에서 [산란이 일어난 원자의] 독립적 위치도 고려 대상인데 이는 절대값을 제곱하며 배제된다. 결정체 내에서 어느 핵에서 스핀이 뒤집힌 산란이 있을지 그 확율은 아래와 같다.
which will show a smooth distribution as in Fig. 3–6(b).
이 확율은 그림 3-6(b) 처럼 부드러운 곡선의 모습을 보여줄 것이다.
You may argue, “I don’t care which atom is up.” Perhaps you don’t, but nature knows; and the probability is, in fact, what we gave above—there isn’t any interference. On the other hand, if we ask for the probability that the spin is up at the detector and all the atoms still have spin down, then we must take the absolute square of
아마도 이렇게 항변할지 모른다. "어느 원자가 업-스핀이 됐는지 모르잖아요" 아마 당신은 모를 뿐이지 자연은 알고있다. 확율은 위에서 보인대로 간섭 없는 모습으로 나타난다. 한편 검지기에서 중성자의 스핀이 업인데 결정체 내의 모든 원자들이 여전히 다움으로 남아있을 가능성을 따져본다면 아래의 식에 절대값 제곱을 해서 구한다.
Since the terms in this sum have phases, they do interfere, and we get a sharp interference pattern.
위 식의 합의 항에는 위상차[회절각이 변하면서 경로차에 의해 생김]를 가지고 있기 때문에 간섭을 일으켜서 그결과 매우 선명한 간섭 무늬를 볼 수 있다.
If we do an experiment in which we don’t observe the spin of the detected neutron, then both kinds of events can occur; and the separate probabilities add. The total probability (or counting rate) as a function of angle then looks like the graph in Fig. 3–6(c).
실험을 해보면 검출된 중성자에서 스핀을 관측하지 못했어도 두가지 사건이 일어날 수 있다. 따라서 두 가능성[스핀 보전과 스핀 반전]을 더해야 한다. 각도로 나타낸 총 확률(또는 검출율)[각도의 변화에 따른 중성자들이 검출되는 수]은 그림 3-6(c)와 같은 모습이 된다.
Let’s review the physics of this experiment. If you could, in principle, distinguish the alternative final states (even though you do not bother to do so), the total, final probability is obtained by calculating the probability for each state (not the amplitude) and then adding them together.
이 실험의 물리적의미를 되집어보자. 만일 할 수만 있다면, 원칙적으로(원론적인 가정을 하는 것이므로 그런 실험을 할 수 '있다' 또는 '없다'를 고민하지 말기 바란다) 최종 상태를 구분할 수만 있다면 총 최종 확율은 각 상태의 확율(확율진폭이 아니다)을 구하여 모두 더하면 된다.
['최종상태'는 산란 후 중성자의 스핀을 확인 할 수 있는 경우를 말한다. 중성자가 결정체의 원자 핵에 충돌하여 원자핵의 스핀이 뒤집어진 경우, 중성자의 스핀이 뒤집어진 경우, 모두 뒤집어진 경우를 확인 할 수 있다면 각각의 확율 더하여 총 최종확율을 구한다.]
If you cannot distinguish the final states even in principle, then the probability amplitudes must be summed before taking the absolute square to find the actual probability.
만일 최종 상태를 구분할 수 없다면 실제 확율을 구하기위해 절대값을 취해 제곱하기전에 확률진폭들을 모두 합쳐야 한다.
The thing you should notice particularly is that if you were to try to represent the neutron by a wave alone, you would get the same kind of distribution for the scattering of a down-spinning neutron as for an up-spinning neutron. You would have to say that the “wave” would come from all the different atoms and interfere just as for the up-spinning one with the same wavelength. But we know that is not the way it works. So as we stated earlier, we must be careful not to attribute too much reality to the waves in space. They are useful for certain problems but not for all.
당신이 꼭 알아둬야 할 점은 파동만으로 중성자를 대변하려고 했다면 다운 스핀된 중성자나 업 스핀된 중성자나 동일한 산란 분포를 얻게될지도 모른다. [이를 보고] 당신은 "파동"은 모든 원자에서 나오는 것이고 동일한 파장의 업 스핀된 것과 마찬가지로 간섭을 일으킨 것이라고 말할지도 모른다. 하지만 그렇지 않다는 것을 우리는 알고 있다. 따라서 앞서도 얘기 했듯이 공간에서 파동이 작동하는 방식에 너무 집착하지 않도록 해야한다. 물론 어떤 문제에 대해서 아주 유용하지만 모든경우에서 통하는 것은 아니다.
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