[파인만 양자역학] 3-1. 진폭을 결합하는 법칙들 [1/2](The laws for combining amplitudes)
[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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3. Probability Amplitudes
3장. 확률 진폭
3-1. The laws for combining amplitudes
3-1. 진폭을 결합하는 법칙들
When Schrödinger first discovered the correct laws of quantum mechanics, he wrote an equation which described the amplitude to find a particle in various places. This equation was very similar to the equations that were already known to classical physicists—equations that they had used in describing the motion of air in a sound wave, the transmission of light, and so on. So most of the time at the beginning of quantum mechanics was spent in solving this equation.
슈뢰딩거가 처음 양자역학에 맞는 법칙을 발견(discover!) 했을 때 그가 작성한 것은 거리상에 파동의 진폭[파동이 이동하는 경로상의 각지점에서 파동의 높이]를 기술하는 방정식이었다. 이 방정식은 고전 물리학에서도 익히 알려진 공기중에서 소리의 퍼짐이나 빛의 전파 같은 그런 방정식[시간에 대한 이차 미분 방정식]과 비슷했다. 그렇기 때문에 양자역학의 초창기 대부분은 이 방정식을 푸는데 시간을 보냈다.
[수학 문제를 풀면 뭔가 답이 나올거라는 희망을 품었다. 양자역학의 미시세계에 대한 새로운 개념은 쉽게 받아들이기 어려웠을 터이니 방정식이라도 풀고 싶었을 것이다.]
But at the same time an understanding was being developed, particularly by Born and Dirac, of the basically new physical ideas behind quantum mechanics.
하지만 [방정식에 메달리기와] 동시에 [양자역학의 개념의] 이해도 진행 되었다. 특히 보른, 디랙과 같은 이들은 양자역학에 내재된 새로운 물리학적 개념을 발전 시켰다.
[슈뢰딩거는 고전 물리학에서도 이미 알려진 파동의 방정식이 양자역학에도 적용될 수 있다는 것을 발견하였다. 보른, 디랙 같은 학자들은 이미 고전 물리학에서 거시세계의 자연현상을 설명하던 이차 미분 방정식이 미시세계에도 적용(물론 파동의 물리적인 현상이 아닌 확률진폭이라는 신개념으로 적용)될 수 있는 이유를 파헤치면서 양자 역학의 이론을 발전 시켰다.]
As quantum mechanics developed further, it turned out that there were a large number of things which were not directly encompassed in the Schrödinger equation—such as the spin of the electron, and various relativistic phenomena.
양자역학의 개념이 더 발전되자 슈뢰딩거 방정식과는 아무 관련이 없는 수많은 사항들이 등장하게 됐다. 일테면 전자의 스핀, 여러가지 상대론적인 현상들 등등.
[슈뢰딩거 파동 방정식은 그저 이차 미분 방정식으로 그 풀이는 파동이다. 이 풀이에 스핀이니 상대론적 현상 따위는 없다. 왜 파동의 진행 방향에서 위치와 시간의 함수가 확률 진폭이 되는지 그에 대한 궁금증을 풀려다 다른 양자역학 개념들이 파생되었다.]
Traditionally, all courses in quantum mechanics have begun in the same way, retracing the path followed in the historical development of the subject. One first learns a great deal about classical mechanics so that he will be able to understand how to solve the Schrödinger equation. Then he spends a long time working out various solutions. Only after a detailed study of this equation does he get to the “advanced” subject of the electron’s spin.
양자역학을 다루는 이전의 대부분 교육과정은 대동소이하게도 대개 역사적으로 거쳐왔던 경로를 따랐다. 고전역학에 많은 시간을 할애하여 학습을 한 후 슈뢰딩거 방정식을 어떻게 푸는지 해법을 이해하게 된다. 다양한 풀이법을 다루며 오랜시간을 투자했다. 이 방정식이 어떤 의미인지 자세히 살펴본 후에야 비로서 전자의 스핀이라는 "발전된" 화두에 도달하게 되었다.
[파동 방정식을 풀기 위해 고전 물리학에 몰입된 상태에서 마침내 슈뢰딩거 방정식을 풀고 이를 더 확대 발전 시킬 수 있는 "창의적" 사고를 했다는 점은 커다란 "발전"이다.]
We had also originally considered that the right way to conclude these lectures on physics was to show how to solve the equations of classical physics in complicated situations—such as the description of sound waves in enclosed regions, modes of electromagnetic radiation in cylindrical cavities, and so on. That was the original plan for this course.
우리는 처음에 고려했던 것은 이 물리학 강좌가 지향할(to conclude) 바른 방향은 다양한 조건에서 고전 물리학의 방정식들을 어떻게 푸는지 보여주는 거였다. 일테면 한정된 영역에서 음파의 기술이나 원통 통로(cavity)에서의 전자기 복사 방식 같은 그런 것이 이 강좌의 애초 목표였다.
However, we have decided to abandon that plan and to give instead an introduction to the quantum mechanics. We have come to the conclusion that what are usually called the advanced parts of quantum mechanics are, in fact, quite simple.
하지만 우리는 이 계획을 철회하기로 결정 했다. 그대신 양자역학 입문편을 하기로 했다. 우리가 고급 양자역학 이라고 하는 부분이 알고보면 아주 단순하다는 결론에 도달했기 때문이다.
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The mathematics that is involved is particularly simple, involving simple algebraic operations and no differential equations or at most only very simple ones. The only problem is that we must jump the gap of no longer being able to describe the behavior in detail of particles in space.
[양자역학에 담긴] 수학은 특히 더 간단하다. 단순한 대수연산들을 포함할 뿐 미분 방정식은 없는데 있다고 해봐야 아주 단순하다. 유일하게 뛰어 넘어야할 틈이라면 공간상에 있는 입자를 세밀하게 기술할 능력이 없다는 점이다.
[벡터 미적분/미분방정식을 공부해 보자. 학교에서 성적 따려고 배울때 보다 심심풀이로 공부하기 좋은 강좌가 많다. 취미로 미적분과 미분방정식을 공부한다고 이야기 하면 멋지지 않나? 바로 양자역학을 취미로 공부한다고 하듯이.]
1. 미적분학-III/벡터 미적분
2. 공대생을 위한 미분 방정식
So this is what we are going to try to do: to tell you about what conventionally would be called the “advanced” parts of quantum mechanics. But they are, we assure you, by all odds the simplest parts—in a deep sense of the word—as well as the most basic parts. This is frankly a pedagogical experiment; it has never been done before, as far as we know.
그래서 지금부터 하려는 것이 이것이다. 이전에는 "고등" 양자역학이라고 했던 부분을 선보이려 한다. 하지만 이부분은 장담컨데 어딜 보더라도(by all odds) 기초편 만큼이나 말 그대로 단순하다[밑거나 말거나...]
In this subject we have, of course, the difficulty that the quantum mechanical behavior of things is quite strange. Nobody has an everyday experience to lean on to get a rough, intuitive idea of what will happen.
물론 우리는 이 과목에서 다루는 양자역학적 행동들을 받아들이기는 아주 어렵다. 누구도 무슨일이 벌어질지 개략적이거나 직감적인 생각을 일상 생활에서 경험한 사람은 없다.
[양자역학에서 다루는 미시세계의 현상을 거시세계에서 사는 사람으로써 경험해본 바도 없고 짐작도 못한다. 그러니 양자역학적 행동을 받아들이기 어려운 것이지 수학이 어려운 것이 아니다. 이해하지 못하겠으니 괜시리 '고등' 수학을 끄집어내서 힘들게 하는데 이는 '이상한' 물리학자들의 변명이 아닐까?]
So there are two ways of presenting the subject: We could either describe what can happen in a rather rough physical way, telling you more or less what happens without giving the precise laws of everything; or we could, on the other hand, give the precise laws in their abstract form.
그런데 이 주제를 다루는 두가지 길이 있다. 우리는 둘 모두를 취할 수 있다. 많든 적든 이 세상의 모든 법칙들을 세세히 동원하지 않고 좀더 물리학적인 측면에서 다루거나 좀더 추상화된 형식으로 구체적인 법칙들을 제시하는 방법도 있다.
But, then because of the abstractions, you wouldn’t know what they were all about, physically. The latter method is unsatisfactory because it is completely abstract, and the first way leaves an uncomfortable feeling because one doesn’t know exactly what is true and what is false.
하지만 추상화로 인해 물리적인 의미를 완전히 파악하지 못하게 될 수도 있다. 후자의 방법은 너무나 추상적일 경우 만족스럽지 못할 수 있다. 그리고 전자의 경우 무엇이 맞는 말이고 무엇이 그른지 확실히 알지 못하기에 꺼림칙함을 남긴다.
['추상화'란 복합적 의미와 복잡한 절차를 한개의 상징으로 단순화 시키는 것을 말한다. 너무 고도로 추상화 수준에서 논하다보면 선문답이 될 수도 있다. 방정식 풀이에 집착하는 경우 막상 문제를 풀어 놓고도 그 의미를 깨닳지 못할 수 있다.]
We are not sure how to overcome this difficulty. You will notice, in fact, that Chapters 1 and 2 showed this problem. The first chapter was relatively precise; but the second chapter was a rough description of the characteristics of different phenomena. Here, we will try to find a happy medium between the two extremes.
우리는 이런 어려움을 어떻게 극복할지 확신이 없었다. 사실 여러분들은 1장과 2장에서 이 문제를 노출했었다는 점을 알아 챘을 것이다. 첫째 장은 상대적으로 구체성을 띄었다[여러 실험 상황을 제시하고 일일이 비교 설명함]. 하지만 둘째장은 서로다른 현상에 대해 개략적인 언급을 했었다[입자성과 파동성 관점의 차이]. 이제 두 극단에서 만족할 만한 중간선을 찾아보기로 하자.
We will begin in this chapter by dealing with some general quantum mechanical ideas. Some of the statements will be quite precise, others only partially precise. It will be hard to tell you as we go along which is which, but by the time you have finished the rest of the book, you will understand in looking back which parts hold up and which parts were only explained roughly.
이번 장은 양자역학의 일반적 개념을 다루는 것부터 시작해보자. 어떤 설명은 아주 구체적일 것이며 어떤 점은 상대적으로 느슨할 것이다. 어떤 면이 구체적이거나 구체적이지 않다고 일일이 말하긴 어렵겠지만 시간이 지나고 이 책의 마지막에 도달해서 되돌아보면 어느 부분이 끝까지 들고갈 내용이었고 어떤 부분이 임시로 개략적인 기술이었는지 깨닳게 될 것이다.
The chapters which follow this one will not be so imprecise. In fact, one of the reasons we have tried carefully to be precise in the succeeding chapters is so that we can show you one of the most beautiful things about quantum mechanics—how much can be deduced from so little.
이번 장에 이어질 장에서 다룰 내용은 결코 개략적이 아니다[이제 본격적으로 다룬다는 예고.] 사실 이후 장에서 조심스럽지만 세세히 다루려 하는 이유는 양자역학의 가장 아름다운 면을 보여주려고 하기 때문이다. 작은 것에서 얼마나 커다랗게 뻗어나갈지 기대해보라.
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We begin by discussing again the superposition of probability amplitudes. As an example we will refer to the experiment described in Chapter 1, and shown again here in Fig. 3–1. There is a source s of particles, say electrons; then there is a wall with two slits in it; after the wall, there is a detector located at some position x.
확율진폭의 중첩을 다시 꺼내 논의를 시작해보자. 예로 그림 3-1에 보인 것 처럼 1장에서 기술한 실험을 참조하겠다. 전자 입자의 출발지를 s 라 하고 중간에 두개의 구멍이 뚫린 벽이 있으며 벽을 지나 도착지의 어느 지점 x 에 검지기가 놓였다.
We ask for the probability that a particle will be found at x. Our first general principle in quantum mechanics is that the probability that a particle will arrive at x, when let out at the source s, can be represented quantitatively by the absolute square of a complex number called a probability amplitude—in this case, the “amplitude that a particle from s will arrive at x.”
위치 x 지점에서 한 입자가 발견될 확률을 구하려 했다. 우리가 접한 양자역학의 첫번째 일반 원리는 출발점 s를 떠난 입자가 x 지점에 도달할 가능성이 어느 정도 인지 정량적으로 나타내는 것[확율] 이었다. 이 확률은 확률진폭이라고 하는 복소수를 제곱하여 절대값을 취해 구할 수 있다는 것이었다. 그러니까 "s 를 떠나 x에 도착할 입자의 확률 진폭"이라고 하면 되겠다.
[확율 분포가 마치 파동의 간섭의 현상과 같은 양상을 띌 뿐이지 실제로 입자가 파동의 운동을 한다는 뜻이 아니다.]
We will use such amplitudes so frequently that we will use a shorthand notation—invented by Dirac and generally used in quantum mechanics—to represent this idea. We write the probability amplitude this way:
앞으로 이러한 표현이 매우 빈번히 나올 것이므로 좀 간략히 표기하기로 하자. 디랙(Dirac)에 의해 고안되어 양자역학 분야에서 [확률 진폭의] 개념을 나타내기 위해 널리 사용된 표기법이다. 이제 확률진폭은 아래와 같이 표기한다.
⟨Particle arrives at x | particle leaves s⟩ ................................ (3.1)
In other words, the two brackets ⟨⟩ are a sign equivalent to “the amplitude that”; the expression at the right of the vertical line always gives the starting condition, and the one at the left, the final condition.
다른 말로 하면 두 브라켓 <>은 "~과정을 거친 진폭" 이라는 뜻을 표현한다. 이런 표현은 가운데 수직선을 두고 오른편이 출발점의 조건을 나타내며 왼편은 최종지의 상황을 나타낸다.
[복잡한 과정을 거친 복합적인 의미를 간략히 상징화 하는 것을 '추상화'라고 한다. 브라켓 <>는 출발지의 조건과 도착지에서 입자가 발견될 확률진폭을 단순하게 상징화 했다.]
Sometimes it will also be convenient to abbreviate still more and describe the initial and final conditions by single letters. For example, we may on occasion write the amplitude (3.1) as
출발지 조건과 도착지 상황을 알파벳 문자 한개로 표현하면 좀더 편할 것이다. 예를 들어 진폭 (3.1)을 다음과 같이 쓴다.
⟨x|s⟩ ................................... (3.2)
We want to emphasize that such an amplitude is, of course, just a single number—a complex number.
그렇게 영문자 한개로 표현하긴 했지만 당연히 복소수로서 진폭을 나타낸 것이란 점을 강조해 둔다.
We have already seen in the discussion of Chapter 1 that when there are two ways for the particle to reach the detector, the resulting probability is not the sum of the two probabilities, but must be written as the absolute square of the sum of two amplitudes. We had that the probability that an electron arrives at the detector when both paths are open is
이미 1장에서도 봤지만 검지기에 도달하기 까지 입자에게는 두가지 길이 있고 두 경로를 지난 확율의 합은 각 경로를 지난 확율의 합과 같지 않다. 그렇더라도 [두 구멍을 열어놓음] 최종 확율은 두 [확율]진폭의 합에 절대값 제곱으로 표현되어야 한다. 두개의 경로를 열어놓고 감지기에 도착할 전자의 확율은 다음과 같이 얻는다.
P_12 = |ϕ_1 + ϕ_2|^2 .............................. (3.3)
We wish now to put this result in terms of our new notation. First, however, we want to state our second general principle of quantum mechanics: When a particle can reach a given state by two possible routes, the total amplitude for the process is the sum of the amplitudes for the two routes considered separately. In our new notation we write that
이제 이 결과를 새로운 표기법으로 표현해 보고자 한다. 먼저 그전에 양자역학의 두번째 일반 원리를 되새겨 본다. 입자가 거치게 될 경로가 두개라고 할 때, 총 진폭은 각 경로를 개별적으로 구한 진폭의 합하는 방식으로 구한다.
⟨x|s⟩_both holes open = ⟨x|s⟩_through_1 + ⟨x|s⟩_through_2 ................ (3.4)
Incidentally, we are going to suppose that the holes 1 and 2 are small enough that when we say an electron goes through the hole, we don’t have to discuss which part of the hole. We could, of course, split each hole into pieces with a certain amplitude that the electron goes to the top of the hole and the bottom of the hole and so on.
부연해서 설명해 둘 점은 구멍 1과 2는 전자 하나가 통과할 정도로 충분히 작다고 가정하고 구멍의 어느 부분에 닿는지에 대해선 고려하지 않겠다. 물론 전자가 한 구멍의 윗부분과 다른 구멍의 아랫부분 사이를 특정 진폭을 고려해 분리해 놓을 수 있다는 등의 고려사항이 가능 하다고 하놓겠다. [구멍의 물리적 형상으로 인해 전자의 경로가 변경될 수 있다는 점은 고려하지 않겠다.]
We will suppose that the hole is small enough so that we don’t have to worry about this detail. That is part of the roughness involved; the matter can be made more precise, but we don’t want to do so at this stage.
우리는 구멍이 충분히 작아서 구멍에 대한 세세한 영향에 대해서 고려하지 않기로 하겠다. 이는 간략화 하는 면이 있는데 더 정밀하게 취급할 요인이지만 지금 단계에서는 그렇게 하진 않겠다.
Now we want to write out in more detail what we can say about the amplitude for the process in which the electron reaches the detector at x by way of hole 1. We can do that by using our third general principle: When a particle goes by some particular route the amplitude for that route can be written as the product of the amplitude to go part way with the amplitude to go the rest of the way.
이제 전자가 구멍 1을 통과한 후 x 지점에 놓인 검지기에 도달하는 과정을 좀더 구체적으로 기술하려고 한다. 이 시점에서 세번째 일반 원리를 적용한다. 입자가 특정 경로를 지날때 그 경로상의 진폭은 거쳐간 부분 구간의 진폭의 곱으로 표현한다.
[양자역학을 다룰 때 확율진폭 계산을 위한 계산법으로써 도입한 세가지 일반 원리(general principle)를 정의한다. 첫번째, 확율진폭은 복소수로 표현하고 진폭 값은 절대값의 제곱하여 구한다. 이 진폭값을 브라켓 표기법을 활용 하겠다. 두번째, 입자가 통과 할 경로가 여럿일 경우 총 확율 진폭은 각 경로의 확율 진포의 합으로 구한다. 세번째, 전자가 지나갈 한 경로가 부분적으로 나뉠 경우 그 경로의 확율진폭은 각 부분 경로의 확율진폭의 곱으로 구한다. 확율진폭의 덧셈과 곱셈의 의미는 나중에 따져보기로 하고 일단 원리로써 정리해 둔다.]
For the setup of Fig. 3–1 the amplitude to go from s to x by way of hole 1 is equal to the amplitude to go from s to 1, multiplied by the amplitude to go from 1 to x.
그림 3-1과 같은 실험 구조에서 전자의 근원(출발)지 s에서 구멍 1을 지나 x에 이르는 경로의 [확률]진폭은 s에서 구멍 1까지의 진폭과 구멍 1에서 x에 이르는 진폭의 곱과 같다.
⟨x|s⟩_via_1 = ⟨x|1⟩⟨1|s⟩ ................................ (3.5)
Again this result is not completely precise. We should also include a factor for the amplitude that the electron will get through the hole at 1; but in the present case it is a simple hole, and we will take this factor to be unity.
다시 짚어 두지만 이 결과는 사실 완전하진 않다[모든것을 세세히 따진게 아니다.] 전자가 구멍 1을 지나는 동안 받을 영향도 고려해야 하지만 지금으로서는 구멍을 단순화 했고 구멍의 영향은 차치해(to be unity) 두기로 한다.
You will note that Eq. (3.5) appears to be written in reverse order. It is to be read from right to left: The electron goes from s to 1 and then from 1 to x.
식 (3.5)에 기술된 표현을 보면 순서가 뒤집어 진것처럼 보일 것이다. 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어야 하는데, 전자가 진행한 경로는 s 에서 1로, 이어서 1에서 x가 된다.
In summary, if events occur in succession—that is, if you can analyze one of the routes of the particle by saying it does this, then it does this, then it does that—the resultant amplitude for that route is calculated by multiplying in succession the amplitude for each of the successive events.
요약하면 만일 사건이 연속적으로 일어나는경우, 그러니까 분석을 통해 입자가 지나간 경로를 이곳을 거치고 이어서 이곳을 거쳤다고 말할 수 있다면 연속된 각 사건의 진폭을 연속적으로 곱해 최종 진폭을 계산할 수 있다.
Using this law we can rewrite Eq. (3.4) as
이 법칙[확율진폭 곱의 원리]를 적용해 식 (3.4)를 다시 쓰면 다음과 같다.
⟨x|s⟩_both = ⟨x|1⟩⟨1|s⟩ + ⟨x|2⟩⟨2|s⟩.
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Now we wish to show that just using these principles we can calculate a much more complicated problem like the one shown in Fig. 3–2. Here we have two walls, one with two holes, 1 and 2, and another which has three holes, a, b, and c. Behind the second wall there is a detector at x, and we want to know the amplitude for a particle to arrive there.
이 [확률진폭 연산의] 원리들을 이용하여 그림 3-2와 같이 좀더 복합적인 구성을 갖는 문제에 적용해 보자. 이 구성에는 두개의 벽이 있고 그중 한 벽에 두 구멍이 뚫렸는데 각각 1과 2라고 하자. 또다른 벽에는 각각 a, b, c 라는 이름을 붙인 세개의 구멍이 뚫려있다. 두번째 벽 뒤의 벽에 x 지점에 검지기가 놓여있다. 이 검지기에 도착할 입자의 확률진폭을 구하고자 한다.
Well, one way you can find this is by calculating the superposition, or interference, of the waves that go through; but you can also do it by saying that there are six possible routes and superposing an amplitude for each. The electron can go through hole 1, then through hole a, and then to x; or it could go through hole 1, then through hole b, and then to x; and so on.
그럼 이 총 진폭은 입자가 통과하는 구간마다 중첩 혹은 간섭을 계산하여 구할 수 있다. 하지만 조합가능한 경로가 여섯가지나 되고 각 구간마다 진폭을 구해 합쳐야 한다. 전자는 구멍 1을 통과한 후 이어 구멍 a를 통과하여 x 에 도착할 수 있다. 또는 구멍 1을 통과한 후 구멍 b를 통과하여 x 에 도달할 수도 있다. 그런식으로 여러 조합이 가능하다.
According to our second principle, the amplitudes for alternative routes add, so we should be able to write the amplitude from s to x as a sum of six separate amplitudes. On the other hand, using the third principle, each of these separate amplitudes can be written as a product of three amplitudes.
경로가 다른 경우 더하기로 한 두번째 확률진폭 계산의 원리에 따라 s 에서 시작하여 x 에 도달하기까지 총 확률진폭은 여섯가지의 개별 경로별 진폭을 모두 더하여 구한다. 한편, 각 경로별 진폭은 세 부분 구간의 진폭을 [전자가 이동하는 경로상 순서에 따라] 곱하여 독립적으로 구한다.
For example, one of them is the amplitude for s to 1, times the amplitude for 1 to a, times the amplitude for a to x.
예를들어 여섯개 경로중 한 경로의 확률진폭은 s에서 1로 가는 진폭 곱하기 1에서 a 로 가는 진폭 곱하기 a 에서 x 까지의 진폭을 곱한다.
Using our shorthand notation, we can write the complete amplitude to go from s to x as
간략한 [브라켓] 표기법을 적용하여 s 에서 x 까지의 총 진폭을 구하는 식을 포현하면 다음과 같다.
⟨x|s⟩ = ⟨x|a⟩⟨a|1⟩⟨1|s⟩ + ⟨x|b⟩⟨b|1⟩⟨1|s⟩ + ⋯ + ⟨x|c⟩⟨c|2⟩⟨2|s⟩.
We can save writing by using the summation notation
이렇게 모두 더하기로 나열하기 보다 총합 기호를 쓰면 간략해보이기도 하고 그럴듯 하다.
⟨x|s⟩ = ∑i=1,2α=a,b,c(⟨x|α⟩⟨α|i⟩⟨i|s⟩) ......................... (3.6)
In order to make any calculations using these methods, it is, naturally, necessary to know the amplitude to get from one place to another. We will give a rough idea of a typical amplitude. It leaves out certain things like the polarization of light or the spin of the electron, but aside from such features it is quite accurate.
이런 식으로 계산을 하려면 당연히 한곳에서 다른곳에 이르는 진폭을 알아야야 할 것이다. 기초적인 확률진폭 계산법을 개략적으로 다뤄볼 것이다. 일테면 빛의 편광 이나 전자의 스핀 같은 아주 세밀한 요소들은 잠시 접어두기로 한다.
[세밀한 요소들은 경로상 영향을 주는 요인이므로 세번째 원리에 따라 그로 인한 진폭을 곱해주면 된다. 편광, 스핀 같은 입자에 내재한 특성들 역시 간섭과 같이 입자가 진행하며 어디에 위치할지 영향을 주는 요인들로 취급된다.]
