[파인만 양자역학] 2-4. 원자의 크기 (The size of an atom)

[파인만 양자역학] 2-4. 원자의 크기 (The size of an atom)

[참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/7강[강의]/8강[강의]/[원문]

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[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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Chapter 2. The relation of wave and particle viewpoints)
2장. 파동과 입자 관점의 차이

2-4. The size of an atom
2-4. 원자의 크기

We now consider another application of the uncertainty relation, Eq. (2.3). It must not be taken too seriously; the idea is right but the analysis is not very accurate. The idea has to do with the determination of the size of atoms, and the fact that, classically, the electrons would radiate light and spiral in until they settle down right on top of the nucleus. But that cannot be right quantum-mechanically because then we would know where each electron was and how fast it was moving.

불확정성 관계식 2.3을 보여주는 또다른 예를 살펴보기로 하자. 아주 엄밀하게 다루진 않도록 한다. 이 예에 적용된 원리는 맞지만 분석에 있어서 아주 정확하다고 할 수는 없다. 이 예는 원자의 크기를 추정해 보려는 것이다. 고전물리학적인 이론에 따르면 전자는 핵 주변을 나선 으로 돌며 안쪽으로 내려가 안착하면서 빛을 발산한다는 것이다. 양자역학적으로 보면 정확한 이론이라고 할 수 없더라도 전자가 어디에 있을 거라거나 얼마나 빠르게 움직이는지 추정 할 수 있다.

Suppose we have a hydrogen atom, and measure the position of the electron; we must not be able to predict exactly where the electron will be, or the momentum spread will then turn out to be infinite. Every time we look at the electron, it is somewhere, but it has an amplitude to be in different places so there is a probability of it being found in different places. These places cannot all be at the nucleus; we shall suppose there is a spread in position of order a. That is, the distance of the electron from the nucleus is usually about a. We shall determine a by minimizing the total energy of the atom.

[전자와 핵이 1개인 가장 단순한 구성의] 수소 원자를 놓고 전자의 위치를 측정한다고 해보자. 전자의 위치를 정확히 측정 할 수는 없거나 운동량의 변화가 무한에 가까워야 한다. [앞선 불확정성 원리를 상기하자. 위치와 운동량 중 하나의 불확실성이 있어야 한다.] 전자를 관측할 때마다 어딘가에 존재하지만 장소마다 다른 [확률]진폭을 가진다. 달리 말하면 각 장소마다 발견될 확률이 다르다. 이 전자의 위치는 핵의 위치와 같을 수 없다. 따라서 전자가 존재할 위치를 a 라는 변수로 놓자. 이는 핵으로부터 전자까지 거리가 약 a 만큼 떨어져 있다는 뜻이다. 원자의 총 에너지[운동 에너지(kinetic energy)와 퍼텐셜 에너지(potential energy)의 합]를 최소화 하므로서 a 를 결정해 볼 수 있다.

The spread in momentum is roughly ℏ/a because of the uncertainty relation, so that if we try to measure the momentum of the electron in some manner, such as by scattering x-rays off it and looking for the Doppler effect from a moving scatterer, we would expect not to get zero every time—the electron is not standing still—but the momenta must be of the order p≈ℏ/a.

만일 어떤 식으로든, 일테면 X-선을 산란시켜 움직이는 산란자의 도플러 효과를 관찰하는 식으로 운동량을 측정 했다면 불확정성 관계식에 따르면 운동량의 범위(the spread of)는 약 ℏ/a 으로 0 이 되지 않고 항상 움직인다. 이때 운동량 p는 ℏ/a 정도(order of: 10의 승수 이하의 편차를 일컬음.)가 되어야 한다, p≈ℏ/a.

Then the kinetic energy is roughly 1/2[m(v^2)] = (p^2)/2m= (ℏ^2)/2m(a^2). (In a sense, this is a kind of dimensional analysis to find out in what way the kinetic energy depends upon the reduced Planck constant, upon m, and upon the size of the atom. We need not trust our answer to within factors like 2, π, etc. We have not even defined a very precisely.)

운동 에너지(kinetic energy: 속도를 가지고 움직이는 질량체의 에너지)는 대략  1/2[m(v^2)] = (p^2)/2m= (ℏ^2)/2m(a^2). (운동 에너지는 플랑크 상수, 질량 그리고 반경 a 에 연관되어 있다는 것을 수치해석 (dimensional analysis)적 방법으로도 확인할 수 있다. 이 방법에서는 2, π 같은 상수배까지 정확성을 보여주지 않는다.)

Now the potential energy is minus (e^2) over the distance from the center, say −(e^2)/a, where, as defined in Volume I, (e^2) is the charge of an electron squared, divided by 4πϵ0. 

중심에서 거리를 두고 떨어진 두 전하[중심의 양성자와 주변을 도는 전자] 사이의 포텐셜 에너지는 −(e^2)/a 다. 이렇게 표현된 포텐셜 에너지는 1권에서 정의했듯이 전자의 전하량 제곱을 4πϵ_0 나눈 값이다.

Now the point is that the potential energy is reduced if a gets smaller, but the smaller a is, the higher the momentum required, because of the uncertainty principle, and therefore the higher the kinetic energy.

요점은 거리 a가 작아질 수록 포텐셜 에너지는 감소하지만 불확정성원리에 따라 운동량은 더 커져야 한다[거리 a의 감소는 위치가 명확해 진다는 의미를 가진다]. 따라서 운동에너지가 커진다.

The total energy is

총 에너지는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이므로,

    E = (ℏ^2)/(2m(a^2)) − (e^2)/a    ...................................... (2.10)

We do not know what a is, but we know that the atom is going to arrange itself to make some kind of compromise so that the energy is as little as possible.

사실 a 가 무슨 의미 인지 확실치 않지만 알다시피 원자는 스스로 최소에너지에 머무르려는 경향을 가진다[안정상태에 놓이려고 한다.]

In order to minimize E, we differentiate with respect to a, set the derivative equal to zero, and solve for a. The derivative of E is

총 에너지 E 를 최소화 하려면 a 에 대해 미분하여 그 값을 0으로 놓고 a를 구한다 [방정식을 미분하여 0 으로 놓으면 극대 혹은 극소 점을 구한다.] E의 미분은 다음과 같다.

    dE/da = −(ℏ^2)/m(a^3)+(e^2)/(a^2)    .......................... (2.11)

and setting dE/da=0 gives for a the value

dE/da=0 로 놓고 a 를 구하면 다음과 같다.

    a0 = ℏ2/me2 = 0.528 angstrom, = 0.528×10−10 meter    ................... (2.12)

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[참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/8강[강의]

This particular distance is called the Bohr radius, and we have thus learned that atomic dimensions are of the order of angstroms, which is right. This is pretty good—in fact, it is amazing, since until now we have had no basis for understanding the size of atoms! Atoms are completely impossible from the classical point of view, since the electrons would spiral into the nucleus.

이 특별한 길이를 보어 반경(Bohr radius)이라고 하며 원자의 차원에서 옹스트롱을 기초단위로 사용한다고 배웠는데 이런 근거다. 이는 매우 훌륭한 사실인데 그때까지 원자의 크기를 알려주는 어떤 근거 없이도 알아냈다는 점은 실로 놀랍기도 하다. 전자가 나선으로 핵에 빨려 들어간다는 고전물리의 관점으로는 원자의 구조를 이해하기는 완전히 불가능하다.

Now if we put the value (2.12) for a0 into (2.10) to find the energy, it comes out

이제 (2.12)에서 구한 값 a_0를 (2.10)에 대입하여 [핵 주변을 도는 전자의] 총 에너지를 구해보면 다음과 같다.

    E_0 = −(e^2)/(2a_0) = −m(e^4)/2(ℏ^2) = −13.6 eV    .......................(2.13)

What does a negative energy mean? It means that the electron has less energy when it is in the atom than when it is free. It means it is bound. It means it takes energy to kick the electron out; it takes energy of the order of 13.6 eV to ionize a hydrogen atom.

에너지에 음의 값을 갖는 의미는 무엇인가? 이는 전자가 원자에 묶였을 때 갖는 에너지가 자유전자일 때 보다 적은 에너지를 갖게 됨을 뜻한다. 이는 전자를 원자에서 떼낼때 필요한 에너지다. 수소원자를 이온화(ionize: [전자와 양성자가 전기적 균형을 이루고 있는 원자에 전자를 더하거나 떼내서] 전기를 띄게 함)하려면 13.6 전자 볼트(eV)가 필요하다는 뜻이다. 

We have no reason to think that it is not two or three times this—or half of this—or (1/π) times this, because we have used such a sloppy argument. However, we have cheated, we have used all the constants in such a way that it happens to come out the right number! This number, 13.6 electron volts, is called a Rydberg of energy; it is the ionization energy of hydrogen.

[이 시점에서] 우리는 이보다 두배 혹은 세배가 되거나 그 절반이 되거나 혹은 (1/π)배가 되었다 한들[order of~: 몇배 차이나는 수준에서 대략 계산해보기로 했었다] 그것을 설명 할 수는 없다. 단지 우리는 몇가지 상수들을 동원해서 [원자에 속박된 전자의 총 에너지]을 대충이지만(sloppy) 기막히게(cheated) 계산했을 뿐이다! 이 13.6 전자볼트라는 값은 리드버그 에너지라고 하며 수소의 이온화 에너지다.

So we now understand why we do not fall through the floor. As we walk, our shoes with their masses of atoms push against the floor with its mass of atoms. In order to squash the atoms closer together, the electrons would be confined to a smaller space and, by the uncertainty principle, their momenta would have to be higher on the average, and that means high energy; the resistance to atomic compression is a quantum-mechanical effect and not a classical effect. Classically, we would expect that if we were to draw all the electrons and protons closer together, the energy would be reduced still further, and the best arrangement of positive and negative charges in classical physics is all on top of each other. This was well known in classical physics and was a puzzle because of the existence of the atom. Of course, the early scientists invented some ways out of the trouble—but never mind, we have the right way out, now!

Incidentally, although we have no reason to understand it at the moment, in a situation where there are many electrons it turns out that they try to keep away from each other. If one electron is occupying a certain space, then another does not occupy the same space. More precisely, there are two spin cases, so that two can sit on top of each other, one spinning one way and one the other way. But after that we cannot put any more there. We have to put others in another place, and that is the real reason that matter has strength. If we could put all the electrons in the same place, it would condense even more than it does. It is the fact that the electrons cannot all get on top of each other that makes tables and everything else solid.


Obviously, in order to understand the properties of matter, we will have to use quantum mechanics and not be satisfied with classical mechanics.

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[참고]

1. 차교수와 물리산책[링크]

2. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/

3. [참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/7강[강의] [원문]

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[파인만 양자역학] 2-3. 결정체 회절 (Crystal diffraction)

[파인만 양자역학] 2-3. 결정체 회절 (Crystal diffraction)

[참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/6강[강의] [원문]

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[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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Chapter 2. The relation of wave and particle viewpoints)

2장. 파동과 입자 관점의 차이

2–3. Crystal diffraction
2-3. 결정체 회절

Next let us consider the reflection of particle waves from a crystal. A crystal is a thick thing which has a whole lot of similar atoms—we will include some complications later—in a nice array. The question is how to set the array so that we get a strong reflected maximum in a given direction for a given beam of, say, light (x-rays), electrons, neutrons, or anything else. In order to obtain a strong reflection, the scattering from all of the atoms must be in phase. There cannot be equal numbers in phase and out of phase, or the waves will cancel out. The way to arrange things is to find the regions of constant phase, as we have already explained; they are planes which make equal angles with the initial and final directions (Fig. 2–4).

다음으로 결정체(crystal)에서 [일어나는] 입자 파동의 반사[회절]에 대해 살펴보자. 결정체란 동일한 원자(단순한 원자라기 보다 좀 더 복합구조를 가진 분자들 인데 추후 더 언급하겠다.)가 균일하게 정렬된(nice array) 두터운 물질이다. 강한 최대 반사[보강간섭을 일으켜 강한 회절 무늬]를 얻기 위해 광선, 일테면 빛(X-선)이나 전자 선(electron beam), 중성자 선(neutron beam) 따위를 어떤 각도(direction)로 비추면 좋을지 알아보자. 강한 회절무늬를 얻으려면  [입사하여 반사되는 입자파동이 결정체 내의] 모든 원자에서 산란된 후의 위상(phase)이 동일해야 한다. 동위상되는 입자 수와 벗어난 위상의 입자수가 같지 않을 경우 파동은 상쇄되어 버린다(cancel out). [최대 회절 무늬를 얻기 위해 입사 방향을] 조절하려면(the way to arrange things) 반사가 상수배의 위상(constant phase)이 되는 지점[방향]을 찾는 것이다. 앞서 설명했듯이 결정체는 그림 2-4에서 보는 것처럼 입사와 반사의 각도가 동일한 반사면을 가진다.

If we consider two parallel planes, as in Fig. 2–4, the waves scattered from the two planes will be in phase, provided the difference in distance traveled by a wave front is an integral number of wavelengths.

그림 2-4 처럼 두개의 평행한 평면을 고려했을 때 두 평면에서 산란(반사)된 파동들은 파동의 파고(wave front)가 이동한 거리의 차가 파장의 정수배(integral number)가 되었을 때 동위상(in phase)이 된다.

This difference can be seen to be 2dsinθ, where d is the perpendicular distance between the planes. Thus the condition for coherent reflection is

이 경로차는 2dsinθ 가 되는데 d는 두 평면사이의 수직거리다. 보강간섭을 일으킬 조건은 다음과 같다.

        2dsinθ = nλ   (n=1,2,…)    ......................................... (2.9)

If, for example, the crystal is such that the atoms happen to lie on planes obeying condition (2.9) with n=1, then there will be a strong reflection. If, on the other hand, there are other atoms of the same nature (equal in density) halfway between, then the intermediate planes will also scatter equally strongly and will interfere with the others and produce no effect. So d in (2.9) must refer to adjacent planes; we cannot take a plane five layers farther back and use this formula!

예를들어 어떤 결정체가 n=1에서 식 (2.9)의 조건을 만족하면서 원자들이 배열되었다면 아주 강력한 반사를 일으킬 [강한 회절무늬를 얻을]것이다. 만일 두 평면 사이에 같은 특성의 원자들이 면을 이루고 있었다면 이 중간 면에서도 동일한 강도로 산란되어 서로 간섭을 일으킬 것이므로 아무런 무늬도 만들어 내지 못하게 된다(no effects). 따라서 식 (2.9)의 d 는 바로 이웃한 면 사이의 거리여야 한다. 일테면 다섯층 뒤의 면이어서는 이 공식을 사용할 수 없다. 

As a matter of interest, actual crystals are not usually as simple as a single kind of atom repeated in a certain way. Instead, if we make a two-dimensional analog, they are much like wallpaper, in which there is some kind of figure which repeats all over the wallpaper. By “figure” we mean, in the case of atoms, some arrangement—calcium and a carbon and three oxygens, etc., for calcium carbonate, and so on—which may involve a relatively large number of atoms. But whatever it is, the figure is repeated in a pattern. This basic figure is called a unit cell.

문제는 실제 결정체는 이 조건에 딱맞는 방식(certain way)으로 동일한 원자가 반복적인 배열을 하고 있을 만큼 단순하지 않다는 점이다. 그렇긴 하지만 [결정체의 구조를] 2차원으로 비유해 보자면 결정체는 마치 동일한 무늬가 반복적으로 그려져 있는 벽지(wall-paper) 같은 것이다. "무늬(figure)"의 의미는 원자들이 결합체(some arrangement), 일테면 탄산칼슘(calcium carbonate, CaCO3)은 다소 많은 원자들이 개입되는데 칼슘과 탄소 그리고 3개의 산소원자가 결합되어 배열을 이룬 물질이다. 어쨌든 무늬는 특정한 모습으로 반복되어있다. 이 기본 문양을 단위분자(unit cell)라고 한다.

The basic pattern of repetition defines what we call the lattice type; the lattice type can be immediately determined by looking at the reflections and seeing what their symmetry is. In other words, where we find any reflections at all determines the lattice type, but in order to determine what is in each of the elements of the lattice one must take into account the intensity of the scattering at the various directions. Which directions scatter depends on the type of lattice, but how strongly each scatters is determined by what is inside each unit cell, and in that way the structure of crystals is worked out.

반복되는 단위 문양을 층양식(lattice type)라고 한다. 이 층양식은 반사무늬를 찍어 그 무늬의 대칭성을 살펴보면 금방 드러난다(be determined). 이를 응용하면(in other words) 어떤 방향으로든 반사무늬를 얻을 수 있다면 다양한 방향에서 다른 밝기의 산란무늬를 구하여 한 층을 이루는 원소들의 결합된 구조를 알아낼 수 있다. 층의 형식(type of lattice)에 따라 산란이 일어나는 방향[입사광의 각도]이 결정되고 단위 분자(unit cell) 내부의 모양에 따라 산란된 빛의 세기가 달라진다. 따라서 이 둘을 합치면 결정체의 구조를 파악할 수 있다(be worked out).

Two photographs of x-ray diffraction patterns are shown in Figs. 2–5 and 2–6; they illustrate scattering from rock salt and myoglobin, respectively.

그림 2-5와 2-6의 두장의 사진은 X-선 회절 무늬를 찍은 것이다. 각각 암염(소금)과 미오글로빈의 X-선 회절상 이다.


Incidentally, an interesting thing happens if the spacings of the nearest planes are less than λ/2. In this case (2.9) has no solution for n. Thus if λ is bigger than twice the distance between adjacent planes, then there is no side diffraction pattern, and the light—or whatever it is—will go right through the material without bouncing off or getting lost. So in the case of light, where λ is much bigger than the spacing, of course it does go through and there is no pattern of reflection from the planes of the crystal.

인접한 반사면의 거리가 λ/2 이하 일 때 특이한 현상이 나타난다. 이는 식 (2.9)에 n 이 정수여야 한다는 조건에 위배되는 경우다. 만일 λ [입사광의 파장]이 인접한 반사면의 간격보다 두배를 넘을 경우 부 회절상(side diffraction pattern; 최대 밝기 무늬 옆에 이어지는 무늬)이 나타나지 않고 입사된 빛 -전자선이든 뭐든 간에- 은 반사되거나 사라지는일 없이 그대로 통과해 버린다. 빛의 경우 λ가 층의 간격보다 크면 그냥 통과해 버리고 결정체 층의 회절무늬는 나타나지 않는다.

This fact also has an interesting consequence in the case of piles which make neutrons (these are obviously particles, for anybody’s money!). If we take these neutrons and let them into a long block of graphite, the neutrons diffuse and work their way along (Fig. 2–7). They diffuse because they are bounced by the atoms, but strictly, in the wave theory, they are bounced by the atoms because of diffraction from the crystal planes. It turns out that if we take a very long piece of graphite, the neutrons that come out the far end are all of long wavelength!

이런 현상은 중성자(이것도 어디에나 있는 입자다.)를 억제하는 감속봉(piles)에도 응용된다. 중성자를 모아 긴 흑연(graphite) 막대에 밀어 넣을(let them into) 경우 그림 2-7처럼 흑연 봉에 침투되어 긴쪽으로 통과한다. 중성자들이 침투되는 이유는 흑연의 원자들이 중성자들을 튕기내기 때문인데 이 반사는 파동 이론에 의하면 흑연의 결정체 구조의 반사면에서 회절을 일으키기 때문이다. 아주 기다란 흑연봉을 사용할 경우 장파장을 갖는 중성자[낮은 에너지를 가진 중성자들]들은 긴쪽으로 흑연봉을 통과한다.

In fact, if one plots the intensity as a function of wavelength, we get nothing except for wavelengths longer than a certain minimum (Fig. 2–8). In other words, we can get very slow neutrons that way. Only the slowest neutrons come through; they are not diffracted or scattered by the crystal planes of the graphite, but keep going right through like light through glass, and are not scattered out the sides. There are many other demonstrations of the reality of neutron waves and waves of other particles.

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[참고]

1. 차교수와 물리산책[링크]

2. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/

3. 차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/6강[강의] [원문]

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The Scarlet Letter (Preface)

The Scarlet Letter (Preface) by Nathaniel Hawthorne

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PREFACE TO THE SECOND EDITION.

MUCH to the author’s surprise, and (if he may say so without additional offence) considerably to his amusement, he finds that his sketch of official life, introductory to The Scarlet Letter, has created an unprecedented excitement in the respectable community immediately around him. It could hardly have been more violent, indeed, had he burned down the Custom-House, and quenched its last smoking ember in the blood of a certain venerable personage, against whom he is supposed to cherish a peculiar malevolence. As the public disapprobation would weigh very heavily on him, were he conscious of deserving it, the author begs leave to say, that he has carefully read over the introductory pages, with a[iv] purpose to alter or expunge whatever might be found amiss, and to make the best reparation in his power for the atrocities of which he has been adjudged guilty. But it appears to him, that the only remarkable features of the sketch are its frank and genuine good-humor, and the general accuracy with which he has conveyed his sincere impressions of the characters therein described. As to enmity, or ill-feeling of any kind, personal or political, he utterly disclaims such motives. The sketch might, perhaps, have been wholly omitted, without loss to the public, or detriment to the book; but, having undertaken to write it, he conceives that it could not have been done in a better or a kindlier spirit, nor, so far as his abilities availed, with a livelier effect of truth.

The author is constrained, therefore, to republish his introductory sketch without the change of a word.

Salem, March 30, 1850.

[참고] The Scarlet Letter translated by Hyun Shin 원서읽기 (방송대 영문학과 신현욱 교수) [Preface]

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[다음]

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참고:
1. The Scarlet Letter [e-Book]
2. 한국방송통신대학교(KNOU) 신현욱 교수님의 유튜브 강독 채널[주홍글자]