[파인만 양자역학] 2-2. 위치와 운동량 측정 (Measuement of position and momentum)
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[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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Chapter 2. The relation of wave and particle viewpoints)
2장. 파동과 입자 관점의 차이
2–2. Measurement of position and momentum
2-2. 위치와 운동량 측정
Let us consider two examples of this idea—to see the reason that there is an uncertainty in the position and/or the momentum, if quantum mechanics is right.
양자역학이 옳다는 전재하에 위치와 운동량 혹은 둘 모두의 불확정성을 보여주는 두가지 예를 생각해 보자.
[두가지 예: 위치 혹은 운동량 중 하나가 확실하다면 다른 하나는 무한대의 불확실 성을 가져야 한다. 또는 둘 모두 불확실성이 있어야 한다. 이때 불확실성의 크기는 아주 작다.]
We have also seen before that if there were not such a thing—if it were possible to measure the position and the momentum of anything simultaneously—we would have a paradox;
우리는 만일 그런일, 운동량과 위치를 동시에 측정 하는것이 가능했더라면 우리는 모순에 빠졌으리라는 것을 이미[2-1절에서] 알고 있다. (=운동량과 위치를 동시에 측정하는것이 가능하지 않았기에 모순에 빠지지 않았다.)
it is fortunate that we do not have such a paradox, and the fact that such an uncertainty comes naturally from the wave picture shows that everything is mutually consistent.
그런 모순을 갖게되지 않아서 다행이다. 그리고 그런 불확정성이 [굳이 양자역학이 아니더라도] 고전 파동이론(wave picture)에서 둘(위치와 운동량) 모두가 불확정성을 가지고 있다는 것을 보여준다.
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[참조] 차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/3강[강의]
Here is one example which shows the relationship between the position and the momentum in a circumstance that is easy to understand.
[양자역학이 옳다는 전제하에] 위치와 운동량 사이의 불확정성을 보여주는 이해하기 쉬운 예 중 첫번째를 보자.
그림 2-2. 단일 슬릿(구멍)을 통과하는 입자의 회절 실험
Suppose we have a single slit, and particles are coming from very far away with a certain energy—so that they are all coming essentially horizontally (Fig. 2–2). We are going to concentrate on the vertical components of momentum.
단일 구멍 회절 실험을 설정해 보자. [입자마다 가지고 있는 에너지 편차가 없이] 일정한 에너지를 가진 입자가 아주멀리서 와서[구멍을 통과할 때 쯤이면 입자들은] 그림 2-2에서 보듯이 모두 평행으로 입사 한다. 이 입자들이 구멍을 통과한 후 수직방향의 운동량 성분에 주목하려고 한다.
[구멍을 통과 하면서 꺽여(회절하여) 입사전에는 없던 수직방향의 운동 성분을 가졌기 때문에 수직방향의 운동량에 주목해 보자]
All of these particles have a certain horizontal momentum p0, say, in a classical sense. So, in the classical sense, the vertical momentum p_y, before the particle goes through the hole, is definitely known. The particle is moving neither up nor down, because it came from a source that is far away—and so the vertical momentum is of course zero.
모든 입자들의 수평성분 운동량은 p_0 라고 하자. [굳이 양자역학을 동원하지 않고] 고전물리학 적(classical sense)으로 따져보자[운동량 벡터를 그려보자.] 입자가 구멍을 통과하기 전 수직 성분 운동량은 p_y 라고 하자. 수직 성분의 운동량은 따져볼 것도 없이 알 수 있다(definitely known). 입자는 아주멀리 떨어진 생성원[1장의 예에서는 전자총]으로부터 오기 때문에 [수평으로 평행 입사하기 때문에] 위아래로 움직임은 없다. 당연히 수직성분의 운동량은 0이다. [p_y = 0이다.]
But now let us suppose that it goes through a hole whose width is B. Then after it has come out through the hole, we know the position vertically—the y-position—with considerable accuracy—namely ±B.
이제 입자들이 폭이 B 인 구멍을 통과했다고 하자. 입자가 구멍을 통과하면 입자의 수직 위치, y-축 위치를 어느정도의 정확성, 그러니까 ±B의 정밀도로 알 수 있다.
That is, the uncertainty in position, Δy, is of order B. Now we might also want to say, since we know the momentum is absolutely horizontal, that Δpy is zero; but that is wrong. We once knew the momentum was horizontal, but we do not know it any more.
이는 위치의 불명함, 즉 Δy 는 B의 정도에 달렸다. 오직 수평성분의 운동량만을 가지고 있다는 것을 알고 있기 때문에 수직성분 운동량 p_y는 0 이라고 말하고 싶을 것이다. 하지만 그것은 틀린 얘기다.
Before the particles passed through the hole, we did not know their vertical positions. Now that we have found the vertical position by having the particle come through the hole, we have lost our information on the vertical momentum! Why?
입자가 구멍을 통과하기 전에 우리는 입자의 수직 위치를 몰랐다. 입자가 구멍을 통과하자 수직 위치를 알게 되었지만 수직 성분 운동량에 대한 정보는 잃게 됐다. 왜 그럴까?
[구멍에 입사하기 전 입자의 수직위치는 모른다. 어느 입자가 구멍과 동일 선상에 있는지 알 수 없었기 때문이다. 이제 구멍을 통과하면 입자의 위치를 알 수 있게 됐다. 하지만 입사전 운동량 수직 성분이 0이라고 확실 했지만 입사 후 회절이 일어나서 수직성분의 운동량이 0이 아니게 됐다.]
According to the wave theory, there is a spreading out, or diffraction, of the waves after they go through the slit, just as for light. Therefore there is a certain probability that particles coming out of the slit are not coming exactly straight. The pattern is spread out by the diffraction effect, and the angle of spread, which we can define as the angle of the first minimum, is a measure of the uncertainty in the final angle.
파동이론에 따르면 파동은 빛이 그런것 처럼 틈새(slit)를 통과하면 퍼짐(spreading out) 혹은 회절(diffraction)이 생긴다. 따라서 틈새를 빠져나온 입자들은 똑바로(exactly straight) 가지 않을 확률을 어느정도 가지고 있다. 퍼짐의 양상은 회절 효과에 의해 나타나며 첫번째 최소치와 이루는 각도를 퍼짐의 각도[회절각]라고 정의 할 수 있는데 이를 불확정성 측정의 기준각(final angle)이라고 하자.
How does the pattern become spread? To say it is spread means that there is some chance for the particle to be moving up or down, that is, to have a component of momentum up or down. We say chance and particle because we can detect this diffraction pattern with a particle counter, and when the counter receives the particle, say at C in Fig. 2–2, it receives the entire particle, so that, in a classical sense, the particle has a vertical momentum, in order to get from the slit up to C.
퍼짐은 왜 생겨날까? 퍼졌다는 것은 입자가 위아래로 움직일 여지(chance)를 가지고 있다는 뜻이다. 그러니까 위아래 방향으로 운동량 성분을 가질 수도 있다는 뜻이다. 입자의 확률에 대해 논하는 것은 입자 계수기(particle counter)로 회절상(diffraction pattern)을 검출 할 수 있기 때문이다. 계수기가 그림 2-2의 C 지점에서 입자를 받아낼 때, 빠트리지 않고[이상적인 실험상황/앞서 1-6절에서 검출기 실험을 기억하자. 파동의 세기는 입자의 갯수로 측정했다.] 모두 입자를 받는다면, 고전물리학의 감각으로 말하자면 입자는 틈새에서 윗쪽으로 C 지점까지 도달하기 위해 수직방향 운동성분을 가졌다고 한다. [운동량 벡터 그리기는 고전적인 물리학의 해석법이다.]
To get a rough idea of the spread of the momentum, the vertical momentum py has a spread which is equal to p0Δθ, where p0 is the horizontal momentum. And how big is Δθ in the spread-out pattern? We know that the first minimum occurs at an angle Δθ such that the waves from one edge of the slit have to travel one wavelength farther than the waves from the other side—we worked that out before (Chapter 30 of Vol. I). Therefore Δθ is λ/B, and so Δpy in this experiment is p0λ/B.
운동량의 퍼짐에 대한 대략적인 생각을 구하기 위해 수직 운동량 p_y는 p0Δθ 만큼의 퍼짐을 가진다. 여기서 p0는 입사하는 입자의 수평 운동량이다. 그럼 퍼진상에서 각도 Δθ의 크기는 얼마나 될까? 첫번째 최소치(음영)이 Δθ에서 발생하려면 틈새의 한쪽 끝에서 회절한 파동이 다른쪽 끝에서 회절한 파동이 진행한 경로의 길이가 한 파장 길 때다. 이는 이 강좌 1권 30장에서 다뤘었다. 그에 따라 Δθ 는 λ/B 이고 이 실험에서 Δp_y 는 p0λ/B 가 된다.
Note that if we make B smaller and make a more accurate measurement of the position of the particle, the diffraction pattern gets wider. So the narrower we make the slit, the wider the pattern gets, and the more is the likelihood that we would find that the particle has sidewise momentum. Thus the uncertainty in the vertical momentum is inversely proportional to the uncertainty of y. In fact, we see that the product of the two is equal to p0λ.
따라서 우리가 구멍의 크기 B를 작게 만들고 입자의 위치를 더 세밀히 측정 하면 회절상은 더 넓어진다. 따라서 틈새를 좁힐 수록 더 넓은 회절상을 얻고 이는 입자의 측면 운동량을 더 잘 구할 수 있겠다는 얘기다. 따라서 운동량 수직성분의 불확정성은 수직축 위치 y의 불확정성에 반비례한다. 사실 둘[운동량의 불확실성 Δp_y과 위치 불확실성 Δy]의 곱은 p0λ와 같다.
But λ is the wavelength and p0 is the momentum, and in accordance with quantum mechanics, the wavelength times the momentum is Planck’s constant h. So we obtain the rule that the uncertainties in the vertical momentum and in the vertical position have a product of the order h:
하지만 λ 는 파장이고 p0는 운동량이다. 양자역학에 따르면 파장 곱하기 운동량은 플랑크 상수 h 다. 따라수 우리는 운동량 수직성분의 불확실성과 수직 위치의 불확실성을 곱하면 h 정도(order of)가 됨을 알 수 있다.
[입자를 파동으로 간주 했을 때 그 입자가 가지는 파장(물질파)과 운동량의 곱은 플랑크 상수다.]
ΔyΔpy≥ℏ/2 .............................. (2.3)
We cannot prepare a system in which we know the vertical position of a particle and can predict how it will move vertically with greater certainty than given by (2.3). That is, the uncertainty in the vertical momentum must exceed ℏ/2Δy, where Δy is the uncertainty in our knowledge of the position.
우리는 입자의 수직위치를 알고 있으면서 식 (2.3)이 주어진 것보다 더 크게 수직 방향으로 얼마나 움직일지 예상할 수 있는 시스템을 만들 수 없다. 그러니까 수직 방향의 운동량의 불확실성은 반드시 ℏ/2Δy 을 넘어야 한다. 여기서 Δy는 수직 위치의 불확실성 정보다.
Sometimes people say quantum mechanics is all wrong. When the particle arrived from the left, its vertical momentum was zero. And now that it has gone through the slit, its position is known. Both position and momentum seem to be known with arbitrary accuracy.
때로 양자역학이 틀렸다는 사람들이 있다. 입사위치[구멍직전]에 도달한 입자의 수직 운동량은 0이었다. 이제 그 입자가 틈새를 통과하면 위치도 알게 된다. 위치와 운동량을 어느정도 정밀하게 안것 처럼 들린다. [운동량과 위치를 알았으니 운동량을 불확정성은 없다고 말하는 것 같다.]
It is quite true that we can receive a particle, and on reception determine what its position is and what its momentum would have had to have been to have gotten there. That is true, but that is not what the uncertainty relation (2.3) refers to.
입자를 검출 할 수 있고 검출하면서 위치와 그 위치로 가게 한 운동량도 알 수 있다. 맞다. 하지만 이는 식 (2.3)이 뜻하는 바가 아니다.
Equation (2.3) refers to the predictability of a situation, not remarks about the past. It does no good to say “I knew what the momentum was before it went through the slit, and now I know the position,” because now the momentum knowledge is lost
식 (2.3)은 앞으로 일어날 상황의 예측을 말하는 것이지 지나온 과거를 설명하는게 아니다. 운동량의 정보를 상실 한 지금은 "틈새를 통과하기 전의 운동량을 알고 있었고 현재 그 위치도 알고 있다." 라고 말하는 것은 옳지 않다.
[사건 이전의 운동량을 알고 있는 것, 사건 이후의 위치를 알고 있는 것은 다른 이야기다.]
The fact that it went through the slit no longer permits us to predict the vertical momentum. We are talking about a predictive theory, not just measurements after the fact. So we must talk about what we can predict.
틈새를 통과 했다는 사실이 수직 운동량의 예측을 더이상 허용하지 않는다. 우리는 예측하는 이론에 대해 논하는 것이지 과거사실 이후의 계량을 하자는 것이 아니다. 이제 우리는 예측 할 수 있는 것에 대해 더 논의하기로 한다.
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[참조] 차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/5강[강의]
Now let us take the thing the other way around. Let us take another example of the same phenomenon, a little more quantitatively. In the previous example we measured the momentum by a classical method.
이번에는 다른 방식으로 [운동량 측정을] 다뤄보자. 이번의 예도 [앞서 든 예와] 같은 현상을 사용하지만 좀더 정량적이다[파동이론을 구제적으로 동원될 것이다.] 앞선 예에서 우리는 운동량을 고전적인 방법으로 측정했었다.
Namely, we considered the direction and the velocity and the angles, etc., so we got the momentum by classical analysis.
말하자면 방향과 속도 그리고 각도 등을 고려했었다. 따라서 고전적인 분석방법으로 운동량을 구했었다.
But since momentum is related to wave number, there exists in nature still another way to measure the momentum of a particle—photon or otherwise—which has no classical analog, because it uses Eq. (2.2).
하지만 운동량은 파수(wave number, k)와 관계 있으므로 고전역학적 대상에 해당하지 않는 광자(photon)같은 입자의 운동량을 측정하는 다른 방법 이랄 것도 없이 식 2.2[파동의 운동량은 플랑크 상수 곱하기 파수]를 사용한다.
We measure the wavelengths of the waves. Let us try to measure momentum in this way.
회절격자 실험으로 파동의 파장을 측정할 것이다[파수는 2π 나누기 파장이다.] 이로부터 운동량을 구하기로 한다.
그림 2-3. 회절격자를 이용한 운동량 측정실험
Suppose we have a grating with a large number of lines (Fig. 2–3), and send a beam of particles at the grating. We have often discussed this problem: if the particles have a definite momentum, then we get a very sharp pattern in a certain direction, because of the interference.
그림 2-3처럼 [거울에] 등간격으로 많은 수의 금을 그은 판[이것을 격자(grating)라고 한다.]에 입자들을 쐈다고 해보자[회절격자: 입자는 격자에 부디쳐 반사되면서 꺽인다.] 이 현상(problem)에 대해 다뤄본 적이 있었다[회절 무늬는 이미 고전이론으로 잘 설명되었다.] 만일 입자가 동일한 운동량(definite momentum)을 가졌다면 특정 방향으로 향한 [반사된] 파동들이 간섭을 일으켜서 매우 선명한 무늬를 보게 될 것이다.
And we have also talked about how accurately we can determine that momentum, that is to say, what the resolving power of such a grating is.
그리고 매우 정확하게 운동량을 계산할 수 있다. 아울러 회절격자의 분해능(resolving power [무늬의 간격을 구분할 수 있는 능력]) 같은 것들을 구할수 있다.
Rather than derive it again, we refer to Chapter 30 of Volume I, where we found that the relative uncertainty in the wavelength that can be measured with a given grating is 1/Nm, where N is the number of lines on the grating and m is the order of the diffraction pattern. That is,
그와 관한 수식을 여기서 다시 구하기 보다 1권 3장을 참조하면 파장에 따른 상대적 불확실성(Δλ/λ)을 실험에 사용한 회절 격자에 따라 구할 수 있는데 1/Nm 이다.
[회절격자에 입사한 입자가 동일한 운동량(definite momentum)을 가졌다면 단일 파장의 회절 무늬를 보여준다(무지개 빛 회절 무늬 아님). 회절된 파동의 불확실성의 정도(회절 무늬의 선명성 및 간격) Δλ는 입사한 입자의 파장 λ 에 대해 상대적으로 달라진다.]
Δλ/λ=1/Nm ...................................... (2.4)
Now formula (2.4) can be rewritten as
식(2.4)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
Δλ/(λ^2) = 1/Nmλ = 1/L ............................. (2.5)
where L is the distance shown in Fig. 2–3. This distance is the difference between the total distance that the particle or wave or whatever it is has to travel if it is reflected from the bottom of the grating, and the distance that it has to travel if it is reflected from the top of the grating.
이 식에서 L은 그림 2-3에 나타낸 거리다. 이 거리는 입자가 됐든 파동이 됐든 간에 격자판의 가장아랫 금에서 반사되어 진행한 것과 맨 윗금에 반사된 것이 진행한 거리의 차이다.
[the particle or wave or whatever: "입자가 됐든 파동이 됐든", 입자가 회절되어 파동처럼 간섭현상을 보여 준다. 이 실험은 회절된 파동의 파수(wave number)를 구해서 운동량을 계산하려는 목적이다. 파장의 불확실성 Δλ은 파수의 불확실성 Δk이자 각 진동수(주파수)의 불확정성 Δω이며 이는 곳 운동량의 불확실성 Δp이 된다.]
That is, the waves which form the diffraction pattern are waves which come from different parts of the grating. The first ones that arrive come from the bottom end of the grating, from the beginning of the wave train, and the rest of them come from later parts of the wave train, coming from different parts of the grating, until the last one finally arrives, and that involves a point in the wave train a distance L behind the first point.
회절 무늬는 격자 반사판의 각각 다른 위치에서 반사되어 도달한 파동들에 의해 만들어진다. 첫번째 파동은 격자판의 가장 아래에서 반사된 것으로 파동열(wave train)의 시작이 되고 나머지 격자판의 금에서 회절된 파동들이 마지막 파동이 도착할 때까지 파동열에 더해진다. 파동열에서 첫 점뒤로 이어진 마지막 점까지 거리가 L이다.
So in order that we shall have a sharp line in our spectrum corresponding to a definite momentum, with an uncertainty given by (2.4), we have to have a wave train of at least length L.
동일한 운동량으로 입사한 입자들에 대해 아주 선명한 간섭선을 얻으려면 식 (2.4) 로 주어진 불확정성에 따라 길이 L만큼의 파동열을 가지고 있어야 한다.
If the wave train is too short, we are not using the entire grating. The waves which form the spectrum are being reflected from only a very short sector of the grating if the wave train is too short, and the grating will not work right—we will find a big angular spread.
만일 파동열이 너무 짧다면 격자판을 전부 활용하지 않은 때문이다. 스펙트럼을 형성한 파동들이 격자판의 일부분에 반사되었다면 파동열을 짧았기 때문이며 격자판이 제대로 작동하지 않아서 넓게 퍼져(big angular spread) 회절 무늬를 보지 못하게 된다.
[식 2.4에서 N은 격자판위에 그어진 금의 갯수다. 이 N의 수가 작으면 Δλ가 매우 증가한다.]
In order to get a narrower one, we need to use the whole grating, so that at least at some moment the whole wave train is scattering simultaneously from all parts of the grating. Thus the wave train must be of length L in order to have an uncertainty in the wavelength less than that given by (2.5).
좁은[선명한, Δλ이 작은] 간섭선을 얻으려면 회절판 전체를 활용하여 반사판 전체에서 동시에 회절 되어 파동열(wave train)을 구성해야 한다. 따라서 식 (2.5)에서 주어진 파동의 불확정성을 얻으려면[회절 무늬를 보려면] 반드시 길이 L만큼의 파동열을 갖춰야 한다.
Incidentally,
계속해서,
Δλ/λ2 = Δ(1/λ) = Δk/2π ...........................................................(2.6)
Therefore
결국
Δk = 2π/L ............................................................................,(2.7)
where L is the length of the wave train.
이 식에서 L은 파동열의 길이다.
This means that if we have a wave train whose length is less than L, the uncertainty in the wave number must exceed 2π/L. Or the uncertainty in a wave number times the length of the wave train—we will call that for a moment Δx—exceeds 2π.
위 식의 의미는 말일 L보다 작은 길이의 파동열을 얻었다면 파수의 불확정성은 반드시 2π/L보다 커야한다. 또는 파수 곱하기 파동열의 길이(당분간 Δx 로 표기한다.)의 불확정성이 2π 보다 커야 한다.
We call it Δx because that is the uncertainty in the location of the particle. If the wave train exists only in a finite length, then that is where we could find the particle, within an uncertainty Δx.
앞으로 Δx를 입자 위치의 불확정성이라고 간주하겠다. 만일 파동열의 길이가 유한 하다면 Δx 범위 내에서 입자를 발견할 수 있다.
Now this property of waves, that the length of the wave train times the uncertainty of the wave number associated with it is at least 2π, is a property that is known to everyone who studies them. It has nothing to do with quantum mechanics. It is simply that if we have a finite train, we cannot count the waves in it very precisely.
파동열의 길이와 파수의 불확정성의 곱이 2π 보다 커야 한다는 파동의 특성은 파동 이론을 공부했다면 누구나 알고 있다. 그것은 양자역학과 상관없다. 단순히 유한한 길이의 파동열이 있다는 점은 그 안에 몇 종(파장별로)의 파동이 더해져 만들어 졌는지 정확하게 셀 수 없다.
Let us try another way to see the reason for that. Suppose that we have a finite train of length L; then because of the way it has to decrease at the ends, as in Fig. 2–1, the number of waves in the length L is uncertain by something like ±1.
But the number of waves in L is kL/2π. Thus k is uncertain, and we again get the result (2.7), a property merely of waves. The same thing works whether the waves are in space and k is the number of radians per centimeter and L is the length of the train, or the waves are in time and ω is the number of radians per second and T is the “length” in time that the wave train comes in.
That is, if we have a wave train lasting only for a certain finite time T, then the uncertainty in the frequency is given by
만일 유한한 시간 T 동안 유지되는 파동열이 있다면 주파수의 불확정성은 아래와 같다.
Δω = 2π/T ...............................................................(2.8)
We have tried to emphasize that these are properties of waves alone, and they are well known, for example, in the theory of sound.
이는 파동 만의 특성이라는 점을 지적해 왔고 음향이론에서는 널리 알려진 사실이다.
The point is that in quantum mechanics we interpret the wave number as being a measure of the momentum of a particle, with the rule that p=ℏk, so that relation (2.7) tells us that Δp≈h/Δx. This, then, is a limitation of the classical idea of momentum. (Naturally, it has to be limited in some ways if we are going to represent particles by waves!) It is nice that we have found a rule that gives us some idea of when there is a failure of classical ideas.
주 목할 점은 양자 역학에서 파수(wave number)를 p=ℏk 공식에 따라 입자의 운동량을 측정하기 위한 목적으로 활용했다는 것이다. 따라서 관계식 (2.7)은 Δp≈h/Δx 이 됨을 보여준다. 이는 운동량에 대한 고전적 이론의 한계다. (당연하게도 입자를 파동으로 기술하고자 하면 어떤 제한이 따른다!) 우리가 고전적 이론으로는 해결하지 못한 어떤 이론을 찾아 냈다는 점은 아주 잘된 일이다.
