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[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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Chapter 2. The relation of wave and particle viewpoints)
2장. 파동과 입자 관점의 차이
2-4. The size of an atom
2-4. 원자의 크기
We now consider another application of the uncertainty relation, Eq. (2.3). It must not be taken too seriously; the idea is right but the analysis is not very accurate. The idea has to do with the determination of the size of atoms, and the fact that, classically, the electrons would radiate light and spiral in until they settle down right on top of the nucleus. But that cannot be right quantum-mechanically because then we would know where each electron was and how fast it was moving.
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파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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Chapter 2. The relation of wave and particle viewpoints)
2장. 파동과 입자 관점의 차이
2-4. The size of an atom
2-4. 원자의 크기
We now consider another application of the uncertainty relation, Eq. (2.3). It must not be taken too seriously; the idea is right but the analysis is not very accurate. The idea has to do with the determination of the size of atoms, and the fact that, classically, the electrons would radiate light and spiral in until they settle down right on top of the nucleus. But that cannot be right quantum-mechanically because then we would know where each electron was and how fast it was moving.
불확정성 관계식 2.3을 보여주는 또다른 예를 살펴보기로 하자. 아주 엄밀하게 다루진 않도록 한다. 이 예에 적용된 원리는 맞지만 분석에 있어서 아주 정확하다고 할 수는 없다. 이 예는 원자의 크기를 추정해 보려는 것이다. 고전물리학적인 이론에 따르면 전자는 핵 주변을 나선 으로 돌며 안쪽으로 내려가 안착하면서 빛을 발산한다는 것이다. 양자역학적으로 보면 정확한 이론이라고 할 수 없더라도 전자가 어디에 있을 거라거나 얼마나 빠르게 움직이는지 추정 할 수 있다.
Suppose we have a hydrogen atom, and measure the position of the electron; we must not be able to predict exactly where the electron will be, or the momentum spread will then turn out to be infinite. Every time we look at the electron, it is somewhere, but it has an amplitude to be in different places so there is a probability of it being found in different places. These places cannot all be at the nucleus; we shall suppose there is a spread in position of order a. That is, the distance of the electron from the nucleus is usually about a. We shall determine a by minimizing the total energy of the atom.
[전자와 핵이 1개인 가장 단순한 구성의] 수소 원자를 놓고 전자의 위치를 측정한다고 해보자. 전자의 위치를 정확히 측정 할 수는 없거나 운동량의 변화가 무한에 가까워야 한다. [앞선 불확정성 원리를 상기하자. 위치와 운동량 중 하나의 불확실성이 있어야 한다.] 전자를 관측할 때마다 어딘가에 존재하지만 장소마다 다른 [확률]진폭을 가진다. 달리 말하면 각 장소마다 발견될 확률이 다르다. 이 전자의 위치는 핵의 위치와 같을 수 없다. 따라서 전자가 존재할 위치를 a 라는 변수로 놓자. 이는 핵으로부터 전자까지 거리가 약 a 만큼 떨어져 있다는 뜻이다. 원자의 총 에너지[운동 에너지(kinetic energy)와 퍼텐셜 에너지(potential energy)의 합]를 최소화 하므로서 a 를 결정해 볼 수 있다.
The spread in momentum is roughly ℏ/a because of the uncertainty relation, so that if we try to measure the momentum of the electron in some manner, such as by scattering x-rays off it and looking for the Doppler effect from a moving scatterer, we would expect not to get zero every time—the electron is not standing still—but the momenta must be of the order p≈ℏ/a.
만일 어떤 식으로든, 일테면 X-선을 산란시켜 움직이는 산란자의 도플러 효과를 관찰하는 식으로 운동량을 측정 했다면 불확정성 관계식에 따르면 운동량의 범위(the spread of)는 약 ℏ/a 으로 0 이 되지 않고 항상 움직인다. 이때 운동량 p는 ℏ/a 정도(order of: 10의 승수 이하의 편차를 일컬음.)가 되어야 한다, p≈ℏ/a.
Then the kinetic energy is roughly 1/2[m(v^2)] = (p^2)/2m= (ℏ^2)/2m(a^2). (In a sense, this is a kind of dimensional analysis to find out in what way the kinetic energy depends upon the reduced Planck constant, upon m, and upon the size of the atom. We need not trust our answer to within factors like 2, π, etc. We have not even defined a very precisely.)
운동 에너지(kinetic energy: 속도를 가지고 움직이는 질량체의 에너지)는 대략 1/2[m(v^2)] = (p^2)/2m= (ℏ^2)/2m(a^2). (운동 에너지는 플랑크 상수, 질량 그리고 반경 a 에 연관되어 있다는 것을 수치해석 (dimensional analysis)적 방법으로도 확인할 수 있다. 이 방법에서는 2, π 같은 상수배까지 정확성을 보여주지 않는다.)
Now the potential energy is minus (e^2) over the distance from the center, say −(e^2)/a, where, as defined in Volume I, (e^2) is the charge of an electron squared, divided by 4πϵ0.
중심에서 거리를 두고 떨어진 두 전하[중심의 양성자와 주변을 도는 전자] 사이의 포텐셜 에너지는 −(e^2)/a 다. 이렇게 표현된 포텐셜 에너지는 1권에서 정의했듯이 전자의 전하량 제곱을 4πϵ_0 나눈 값이다.
Now the point is that the potential energy is reduced if a gets smaller, but the smaller a is, the higher the momentum required, because of the uncertainty principle, and therefore the higher the kinetic energy.
요점은 거리 a가 작아질 수록 포텐셜 에너지는 감소하지만 불확정성원리에 따라 운동량은 더 커져야 한다[거리 a의 감소는 위치가 명확해 진다는 의미를 가진다]. 따라서 운동에너지가 커진다.
The total energy is
총 에너지는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이므로,
E = (ℏ^2)/(2m(a^2)) − (e^2)/a ...................................... (2.10)
We do not know what a is, but we know that the atom is going to arrange itself to make some kind of compromise so that the energy is as little as possible.
사실 a 가 무슨 의미 인지 확실치 않지만 알다시피 원자는 스스로 최소에너지에 머무르려는 경향을 가진다[안정상태에 놓이려고 한다.]
In order to minimize E, we differentiate with respect to a, set the derivative equal to zero, and solve for a. The derivative of E is
총 에너지 E 를 최소화 하려면 a 에 대해 미분하여 그 값을 0으로 놓고 a를 구한다 [방정식을 미분하여 0 으로 놓으면 극대 혹은 극소 점을 구한다.] E의 미분은 다음과 같다.
dE/da = −(ℏ^2)/m(a^3)+(e^2)/(a^2) .......................... (2.11)
and setting dE/da=0 gives for a the value
dE/da=0 로 놓고 a 를 구하면 다음과 같다.
a0 = ℏ2/me2 = 0.528 angstrom, = 0.528×10−10 meter ................... (2.12)
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[참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/8강[강의]
This particular distance is called the Bohr radius, and we have thus learned that atomic dimensions are of the order of angstroms, which is right. This is pretty good—in fact, it is amazing, since until now we have had no basis for understanding the size of atoms! Atoms are completely impossible from the classical point of view, since the electrons would spiral into the nucleus.
이 특별한 길이를 보어 반경(Bohr radius)이라고 하며 원자의 차원에서 옹스트롱을 기초단위로 사용한다고 배웠는데 이런 근거다. 이는 매우 훌륭한 사실인데 그때까지 원자의 크기를 알려주는 어떤 근거 없이도 알아냈다는 점은 실로 놀랍기도 하다. 전자가 나선으로 핵에 빨려 들어간다는 고전물리의 관점으로는 원자의 구조를 이해하기는 완전히 불가능하다.
Now if we put the value (2.12) for a0 into (2.10) to find the energy, it comes out
이제 (2.12)에서 구한 값 a_0를 (2.10)에 대입하여 [핵 주변을 도는 전자의] 총 에너지를 구해보면 다음과 같다.
E_0 = −(e^2)/(2a_0) = −m(e^4)/2(ℏ^2) = −13.6 eV .......................(2.13)
What does a negative energy mean? It means that the electron has less energy when it is in the atom than when it is free. It means it is bound. It means it takes energy to kick the electron out; it takes energy of the order of 13.6 eV to ionize a hydrogen atom.
에너지에 음의 값을 갖는 의미는 무엇인가? 이는 전자가 원자에 묶였을 때 갖는 에너지가 자유전자일 때 보다 적은 에너지를 갖게 됨을 뜻한다. 이는 전자를 원자에서 떼낼때 필요한 에너지다. 수소원자를 이온화(ionize: [전자와 양성자가 전기적 균형을 이루고 있는 원자에 전자를 더하거나 떼내서] 전기를 띄게 함)하려면 13.6 전자 볼트(eV)가 필요하다는 뜻이다.
We have no reason to think that it is not two or three times this—or half of this—or (1/π) times this, because we have used such a sloppy argument. However, we have cheated, we have used all the constants in such a way that it happens to come out the right number! This number, 13.6 electron volts, is called a Rydberg of energy; it is the ionization energy of hydrogen.
[이 시점에서] 우리는 이보다 두배 혹은 세배가 되거나 그 절반이 되거나 혹은 (1/π)배가 되었다 한들[order of~: 몇배 차이나는 수준에서 대략 계산해보기로 했었다] 그것을 설명 할 수는 없다. 단지 우리는 몇가지 상수들을 동원해서 [원자에 속박된 전자의 총 에너지]을 대충이지만(sloppy) 기막히게(cheated) 계산했을 뿐이다! 이 13.6 전자볼트라는 값은 리드버그 에너지라고 하며 수소의 이온화 에너지다.
[이 시점에서] 우리는 이보다 두배 혹은 세배가 되거나 그 절반이 되거나 혹은 (1/π)배가 되었다 한들[order of~: 몇배 차이나는 수준에서 대략 계산해보기로 했었다] 그것을 설명 할 수는 없다. 단지 우리는 몇가지 상수들을 동원해서 [원자에 속박된 전자의 총 에너지]을 대충이지만(sloppy) 기막히게(cheated) 계산했을 뿐이다! 이 13.6 전자볼트라는 값은 리드버그 에너지라고 하며 수소의 이온화 에너지다.
So we now understand why we do not fall through the floor. As we walk, our shoes with their masses of atoms push against the floor with its mass of atoms. In order to squash the atoms closer together, the electrons would be confined to a smaller space and, by the uncertainty principle, their momenta would have to be higher on the average, and that means high energy; the resistance to atomic compression is a quantum-mechanical effect and not a classical effect. Classically, we would expect that if we were to draw all the electrons and protons closer together, the energy would be reduced still further, and the best arrangement of positive and negative charges in classical physics is all on top of each other. This was well known in classical physics and was a puzzle because of the existence of the atom. Of course, the early scientists invented some ways out of the trouble—but never mind, we have the right way out, now!
Incidentally, although we have no reason to understand it at the moment, in a situation where there are many electrons it turns out that they try to keep away from each other. If one electron is occupying a certain space, then another does not occupy the same space. More precisely, there are two spin cases, so that two can sit on top of each other, one spinning one way and one the other way. But after that we cannot put any more there. We have to put others in another place, and that is the real reason that matter has strength. If we could put all the electrons in the same place, it would condense even more than it does. It is the fact that the electrons cannot all get on top of each other that makes tables and everything else solid.
Obviously, in order to understand the properties of matter, we will have to use quantum mechanics and not be satisfied with classical mechanics.
Incidentally, although we have no reason to understand it at the moment, in a situation where there are many electrons it turns out that they try to keep away from each other. If one electron is occupying a certain space, then another does not occupy the same space. More precisely, there are two spin cases, so that two can sit on top of each other, one spinning one way and one the other way. But after that we cannot put any more there. We have to put others in another place, and that is the real reason that matter has strength. If we could put all the electrons in the same place, it would condense even more than it does. It is the fact that the electrons cannot all get on top of each other that makes tables and everything else solid.
Obviously, in order to understand the properties of matter, we will have to use quantum mechanics and not be satisfied with classical mechanics.
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