[파인만 양자역학] 3-3. 결정체에서 산란(Scattering from a crystal)

[파인만 양자역학] 3-3. 결정체에서 산란(Scattering from a crystal)

[참조]차교수와 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/3강[강의]/[원문]
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[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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3. Probability Amplitudes
3장. 확률 진폭

3–3. Scattering from a crystal

3-3. 결정체에서 산란

Fig. 3–5.Measuring the scattering of neutrons by a crystal.

Our next example is a phenomenon in which we have to analyze the interference of probability amplitudes somewhat carefully. We look at the process of the scattering of neutrons from a crystal.

다음으로 우리가 해볼 실험은 확률진폭의 간섭을 좀더 세심하게 분석해볼 필요가 있는 현상이 발생한 경우다. 결정체에서 산란된 중성자가 보여주는 현상을 들여다 보려고 한다.

[먼곳에서 입사하는 중성자: 전기적 극성이 없는 중성자들이 평행으로 결정체에 입사한다. 원자들이 규칙적으로 배열된 결정체는 매우 촘촘한 회절격자가 된다. 중성자들은 이 결정체를 구성하는 원자들의 핵과 핵사이의 간격을 통과하며 회절 현상을 일으킨다.] 

Suppose we have a crystal which has a lot of atoms with nuclei at their centers, arranged in a periodic array, and a neutron beam that comes from far away. We can label the various nuclei in the crystal by an index i, where i runs over the integers 1, 2, 3, …, N, with N equal to the total number of atoms.

핵을 중심에 둔 수많은 원자들이 규칙적으로 배열(periodic array)된 결정체가 있다고 하자. 이 결정체에 멀리서 중성자를 쐈다[멀리서: 결정체에 도달한 중성자가 평행하게 입사한다고 가정.] 결정체 내의 수많은 원자들에 일일이 번호를 메기기 위해 i 라는 색인을 붙이면, i 는 1, 2, 3 ... , N 까지 가게 된다. i는 정수이고 N은 결정체 내의 원자들의 총 수가 된다.  

The problem is to calculate the probability of getting a neutron into a counter with the arrangement shown in Fig. 3–5. For any particular atom i, the amplitude that the neutron arrives at the counter C is the amplitude that the neutron gets from the source S to nucleus i, multiplied by the amplitude a that it gets scattered there, multiplied by the amplitude that it gets from i to the counter C.

실험의 목적은 그림 3-5와 같이 준비된 실험에서 검지기(neutron counter)에 중성자가 들어갈 확율(probablity)을 계산하는 것이다. [결정체]내의 어떤 원자 i에 대하여 중성자가 검지기 C 에 들어갈 확율진폭[중성자가 결정체 내의 i번째 원자에 의해 산란된 후 검지기 C에 들어갈 "확률진폭"]은 중성자 발생기 S 에서 i번째 원자핵에 도착할 확율진폭에 원자에 의해 산란될 확율진폭 a 를 곱하고 이어서 i 번째 원자에 의해 산란된 중 성자가 감지기 C 로 들어갈 확율 진폭을 곱하여 구한다.

[실험의 목적에 유의하자. 목표는 "확률"을 구하는 것이다. 확률은 먼저 중성자의 경로에 대한 "확률진폭"을 먼저 구하고 이를 절대값 제곱하여 확률을 구한다.]

Let’s write that down:

S에서 출발한 중성자가 i 번째 원자의 핵에 충돌하여 검지기 C 에 들어갈 확률진폭은 아래와 같다.

.......................... (3.11)

In writing this equation we have assumed that the scattering amplitude a is the same for all atoms. We have here a large number of apparently indistinguishable routes. They are indistinguishable because a low-energy neutron is scattered from a nucleus without knocking the atom out of its place in the crystal—no “record” is left of the scattering.

[확율진폭을] 식(3.11)과 같이 쓰게 된 이유 [중성자가 i번째 원자에 의해 산란 될] 확률진폭 a가 모든 원자에 대해 동일하다고 가정했기 때문이다. 이때 수많은 구분 불가능(indistinguishable)한 경로가 있다는 것을 고려하자. "구분불가능"이라고 한 것은 에너지가 낮은 중성자가 결정체 내에 위치한 원자의 핵에 부디쳐 산란되면서 아무런 기록(record)을 남기지 않았다는 뜻이다.

["기록"은 관측되었음을 뜻한다. 확률진폭 a는 중성자가 어느 원자에 부디쳤는지 구분하지 않고 일반화한 확률진폭이다. 중성자를 산란시킨 원자도 있고 산란시키지 않은 원자도 있다. 어느 원자에 부디쳤는지 "확률"로 나타내기 위한 "진폭"일 뿐이다.]

According to the earlier discussion, the total amplitude for a neutron at C involves a sum of Eq. (3.11) over all the atoms:

앞서 논의한 대로 C에 검출될 중성자의 총 확률진폭은 식(3.11)을 원자에 대하여 모두 더하여 구한다.

[3-1 절의 "확률진폭을 결합하는 원리"를 상기하자. 중성자가 검지기 C에 도달하는 동안 취한 경로상의 확률진폭을 구한다. 결정체에는 엄청나게 많은 원자가 규칙적인 배열을 하고있다. 이는 엄청나게 많은 수의 구멍(slit)이 있다는 뜻이다. 검지기 C에 도착한 중성자는 이런 수많은 경로중 하나를 거쳤다고 가정한다. 이때 어느 경로인지 특정하지 않았다.]

 .................... (3.12)

Because we are adding amplitudes of scattering from atoms with different space positions, the amplitudes will have different phases giving the characteristic interference pattern that we have already analyzed in the case of the scattering of light from a grating.

서로다른 공간에 위치한 원자들에 의해 산란될 확률진폭을 더하는 이유는 앞서 회절격자를 통과하는 빛의 경우에서 살펴 봤던 것처럼 확률진폭이 결정체의 원자들 사이를 지나면서 경로차를 일으켜 간섭무늬를 만들어 낼 것이기 때문이다.

[원자들이 규칙적인 배열을 하고있는 결정체는 입사하는 중성자(전기적 극성이 없다)에 대해 매우 촘촘한 회절격자의 역활을 한다. 회절격자의 간격이 촘촘할수록 간섭무늬는 선명해진다.]

The neutron intensity as a function of angle in such an experiment is indeed often found to show tremendous variations, with very sharp interference peaks and almost nothing in between—as shown in Fig. 3–6(a). However, for certain kinds of crystals it does not work this way, and there is—along with the interference peaks discussed above—a general background of scattering in all directions.

이 실험에서 검지기의 각도상 위치에 따른 중성자의 세기는 아주 변화무쌍한 모습을 보이게 되는데, 그림 3-6(a) 처럼 매우 선명한 정점과 아무것도 없는 위치가 확연히 드러난다. 앞서 살펴 봤던 것처럼 모든 결정체가 이렇게 선면한 띠모양 간섭무늬를 만들어 내는 것은 아니다. 간섭띠 사이사이로 전방향에 걸쳐 퍼져있기도한다(background scattering in all direction).

[결정체는 매우 촘촘한 회절격자이기 때문에 나타나는 간섭무늬는 매우 선명하다. 결정체 내의 원자 배열 구조에 따라 전방향으로 간섭띄를 보여주기도 한다. 참조: 2-3. 결정체의 회절]

We must try to understand the apparently mysterious reasons for this. Well, we have not considered one important property of the neutron. It has a spin of one-half, and so there are two conditions in which it can be: either spin “up” (say perpendicular to the page in Fig. 3–5) or spin “down.” If the nuclei of the crystal have no spin, the neutron spin doesn’t have any effect. But when the nuclei of the crystal also have a spin, say a spin of one-half, you will observe the background of smeared-out scattering described above. The explanation is as follows.

왜 이런 기이한 현상이 일어나는지 살펴봐야 한다. [이런 현상을 이해하려면] 중성자에 대한 아주 특이한 특성을 따져봐야 한다. 중성자의 스핀은 1/2이기 때문에 두가지 경우를 가질 수 있다. 그 하나는 "업(up)" 스핀이고 다른 하나는 "다운(down)" 스핀이다. 만일 결정체를 구성하는 원자의 핵이 스핀을 가지고 있지 않다면 중성자의 스핀으로 인한 효과는 없다. 하지만 결정체의 핵이 스핀을 가지고 있고, 이를테면 1/2같은, 선명한 간섭무늬 외에 배경으로 삐어져 나온 산란된 모습을 가질 수 있다.

If the neutron has one direction of spin and the atomic nucleus has the same spin, then no change of spin can occur in the scattering process.

만일 중성자의 스핀이 한방향이고 결정체의 원자도 같은 방향의 스핀이라면 산란된 이후의 중성자는 아무런 영향도 없다.

If the neutron and atomic nucleus have opposite spin, then scattering can occur by two processes, one in which the spins are unchanged and another in which the spin directions are exchanged.

만일 중성자와 결정체의 원자가 서로 반대의 스핀을 가지는 경우 산란의 두가지 과정으로 나뉘게 된다. 하나는 스핀이 변하지 않거나 다른 하나는 스핀의 방향의 바뀌는 경우다.

This rule for no net change of the sum of the spins is analogous to our classical law of conservation of angular momentum.

이는 고전역학에서 각운동량 보존 법칙으로 이 스핀 합의 불변을 설명 할 수 있다.

We can begin to understand the phenomenon if we assume that all the scattering nuclei are set up with spins in one direction. A neutron with the same spin will scatter with the expected sharp interference distribution.

산란을 일으킨 모든 핵이 한방향의 스핀을 가졌다고 가정 해놓고 이 현상을 이해해 보기로 한다. 동일한 스핀을 가진 중성자의 경우 예상한 대로 선명한 간섭무늬를 보여준다.

What about one with opposite spin? If it scatters without spin flip, then nothing is changed from the above; but if the two spins flip over in the scattering, we could, in principle, find out which nucleus had done the scattering, since it would be the only one with spin turned over.

그렇다면 서로 반대의 스핀을 가진 경우는 어떻게 될까? 만일 스핀 뒤집힘(spin flip)이 없이 산란되면 선명한 간섭무늬가 나타난다. 하지만 두 스핀이 뒤집어 질 경우 원칙적으로 어느 핵이 산란을 일으켰는지 알아낼 수 있다. 스핀이 뒤집어진 핵을 집어낼 수 있기 때문이다.

[실제로 산란을 일으킨 핵을 특정해 낼 수는 없다. 하지만 중성자가 산란되면서 스핀이 뒤집힌 핵이 있다는 것은 분명하다. 즉, 어딘가에 흔적을 남겼다는 뜻이다. 이 흔적은 바로 관측기록이 되는 셈이다. 관찰의 두 측면, 능동적 관찰과 수동적 관측의 차이는 없는가?]

Well, if we can tell which atom did the scattering, what have the other atoms got to do with it? Nothing, of course. The scattering is exactly the same as that from a single atom.

좋다. 만일 어떤 원자가 산란을 일으켰다면 다른 원자들은 뭘 하고 있었을까? 산란은 한 원자가 그랬던 것처럼 다른 원자에서도 똑같이 일어날 수 있다.

[산란이 원자를 봐가며(구분해가며) 일어나는게 아니다. 확률적인 문제다.]

Fig. 3–6.The neutron counting rate as a function of angle: (a) for spin zero nuclei; (b) the probability of scattering with spin flip; (c) the observed counting rate with a spin one-half nucleus.

To include this effect, the mathematical formulation of Eq. (3.12) must be modified since we haven’t described the states completely in that analysis. Let’s start with all neutrons from the source having spin up and all the nuclei of the crystal having spin down. First, we would like the amplitude that at the counter the spin of the neutron is up and all spins of the crystal are still down. This is not different from our previous discussion. We will let a be the amplitude to scatter with no spin flip.

이 효과[확률의 문제]를 다루기 위해 식 (3.12)의 수식은 수정되어야 한다. 스핀 뒤집힘을 온전히 반영하지 않았기 대문이다. 먼저 발생기에서 출발한 모든 중성자들이 업-스핀을 가졌다고 하자. 그리고 결정체 내의 모든 핵들은 다운-스핀을 가졌다고 하자. 첫째, [산란 후]계측기에 검지된 모든 중성자가 여전히 업-스핀이고 결정체의 핵 역시 모두 다운-스핀일 확률진폭을 생각해보자. 이럴경우 앞서 다뤘던 결과와 다를 것이 없다[간섭무늬가 나타난다.] 이 경우를 스핀 뒤집힘 없는 산란의 확률진폭이라고 하자. 

The amplitude for scattering from the i-th atom is, of course,

i-번째 원자로부터 산란된 확률진폭은 다음과 같이 표현될 수 있다[식 (3.12)와 같음],

Since all the atomic spins are still down, the various alternatives (different values of i) cannot be distinguished. There is clearly no way to tell which atom did the scattering. For this process, all the amplitudes interfere.

모든 원자의 스핀이 여전히 다운이기 때문에 수많은 산란을 구분 할수 없다. 다시말해 몇번째 원자에로 부터 산란됐는지 알길이 없다. 그렇기 때문에 모든 확률진폭이 간섭한다.

[각 중성자 마다 어디로 갈지(어느각도로 산란될지)는 확률진폭을 가진다. 각 중성자의 산란진폭들 사이에 간섭이 일어난다. 확률과 확률진폭의 구분]

We have another case, however, where the spin of the detected neutron is down although it started from S with spin up. In the crystal, one of the spins must be changed to the up direction—let’s say that of the k-th atom.

이번에는 다른 경우를 보자. 발생기에서 업-스핀으로 방출된 중성자가 산란 후 다운-스핀으로 검출된 경우다. 그렇다면 결정체 내의 한 원자는 반드시 업-스핀으로 변했어야 한다[운동량 보전]. 우리는 이 원자를 k-번째 원자라 하자.  

We will assume that there is the same scattering amplitude with spin flip for every atom, namely b. (In a real crystal there is the disagreeable possibility that the reversed spin moves to some other atom, but let’s take the case of a crystal for which this probability is very low.) The scattering amplitude is then

모든 원자는 동일하게 스핀이 뒤집어 질 확율을 가지고 있다고 가정 할 수 있다. 이 확율을 b 라고 하자. (실제 결정체에서는 스핀이 뒤집어진 원자가 다른 원자를 뒤집을 가능성이 다소 있지만 워낙 낮은 확율 이므로 무시하기로 한다.) 산란될 확율은 다음과 같다. 

................... (3.13)

If we ask for the probability of finding the neutron spin down and the k-th nucleus spin up, it is equal to the absolute square of this amplitude, which is simply |b|^2 times |⟨C|k⟩⟨k|S⟩|^2. The second factor is almost independent of location in the crystal, and all phases have disappeared in taking the absolute square. The probability of scattering from any nucleus in the crystal with spin flip is now

만일 다운-스핀 중성자와 k-번째 업-스핀 원자를 찾아낼 확율이 어떻게 되는지 알고 싶다면 확률진폭을 제곱하여 구할 수 있다. 간단하게 |b|^2에 |⟨C|k⟩⟨k|S⟩|^2를 곱하면 된다. 결정체 내에서 [산란이 일어난 원자의] 독립적 위치도 고려 대상인데 이는 절대값을 제곱하며 배제된다. 결정체 내에서 어느 핵에서 스핀이 뒤집힌 산란이 있을지 그 확율은 아래와 같다. 

which will show a smooth distribution as in Fig. 3–6(b).

이 확율은 그림 3-6(b) 처럼 부드러운 곡선의 모습을 보여줄 것이다.

You may argue, “I don’t care which atom is up.” Perhaps you don’t, but nature knows; and the probability is, in fact, what we gave above—there isn’t any interference. On the other hand, if we ask for the probability that the spin is up at the detector and all the atoms still have spin down, then we must take the absolute square of

아마도 이렇게 항변할지 모른다. "어느 원자가 업-스핀이 됐는지 모르잖아요" 아마 당신은 모를 뿐이지 자연은 알고있다. 확율은 위에서 보인대로 간섭 없는 모습으로 나타난다. 한편 검지기에서 중성자의 스핀이 업인데 결정체 내의 모든 원자들이 여전히 다움으로 남아있을 가능성을 따져본다면 아래의 식에 절대값 제곱을 해서 구한다.

Since the terms in this sum have phases, they do interfere, and we get a sharp interference pattern.

위 식의 합의 항에는 위상차[회절각이 변하면서 경로차에 의해 생김]를 가지고 있기 때문에 간섭을 일으켜서 그결과 매우 선명한 간섭 무늬를 볼 수 있다.

If we do an experiment in which we don’t observe the spin of the detected neutron, then both kinds of events can occur; and the separate probabilities add. The total probability (or counting rate) as a function of angle then looks like the graph in Fig. 3–6(c).

실험을 해보면 검출된 중성자에서 스핀을 관측하지 못했어도 두가지 사건이 일어날 수 있다. 따라서 두 가능성[스핀 보전과 스핀 반전]을 더해야 한다. 각도로 나타낸 총 확률(또는 검출율)[각도의 변화에 따른 중성자들이 검출되는 수]은 그림 3-6(c)와 같은 모습이 된다.

Let’s review the physics of this experiment. If you could, in principle, distinguish the alternative final states (even though you do not bother to do so), the total, final probability is obtained by calculating the probability for each state (not the amplitude) and then adding them together.

이 실험의 물리적의미를 되집어보자. 만일 할 수만 있다면, 원칙적으로(원론적인 가정을 하는 것이므로 그런 실험을 할 수 '있다' 또는 '없다'를 고민하지 말기 바란다) 최종 상태를 구분할 수만 있다면 총 최종 확율은 각 상태의 확율(확율진폭이 아니다)을 구하여 모두 더하면 된다.

['최종상태'는 산란 후 중성자의 스핀을 확인 할 수 있는 경우를 말한다. 중성자가 결정체의 원자 핵에 충돌하여 원자핵의 스핀이 뒤집어진 경우, 중성자의 스핀이 뒤집어진 경우, 모두 뒤집어진 경우를 확인 할 수 있다면 각각의 확율 더하여 총 최종확율을 구한다.]

If you cannot distinguish the final states even in principle, then the probability amplitudes must be summed before taking the absolute square to find the actual probability.

만일 최종 상태를 구분할 수 없다면 실제 확율을 구하기위해 절대값을 취해 제곱하기전에  확률진폭들을 모두 합쳐야 한다.

The thing you should notice particularly is that if you were to try to represent the neutron by a wave alone, you would get the same kind of distribution for the scattering of a down-spinning neutron as for an up-spinning neutron. You would have to say that the “wave” would come from all the different atoms and interfere just as for the up-spinning one with the same wavelength. But we know that is not the way it works. So as we stated earlier, we must be careful not to attribute too much reality to the waves in space. They are useful for certain problems but not for all.

당신이 꼭 알아둬야 할 점은 파동만으로 중성자를 대변하려고 했다면 다운 스핀된 중성자나 업 스핀된 중성자나 동일한 산란 분포를 얻게될지도 모른다. [이를 보고] 당신은 "파동"은 모든 원자에서 나오는 것이고 동일한 파장의 업 스핀된 것과 마찬가지로 간섭을 일으킨 것이라고 말할지도 모른다. 하지만 그렇지 않다는 것을 우리는 알고 있다. 따라서 앞서도 얘기 했듯이 공간에서 파동이 작동하는 방식에 너무 집착하지 않도록 해야한다. 물론 어떤 문제에 대해서 아주 유용하지만 모든경우에서 통하는 것은 아니다. 

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[참고]

1. 차교수와 물리산책[링크]

2. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/

3. 차교수와 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/3강[강의]/[원문]

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[파인만 양자역학] 3-2. 이중 슬릿 간섭 무늬(The two-slit interference pattern)

[파인만 양자역학] 3-2. 이중 슬릿 간섭 무늬(The two-slit interference pattern) 

[참조]차교수와 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/3강[강의]/[원문]
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파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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3. Probability Amplitudes
3장. 확률 진폭

3–2. The two-slit interference pattern
3-2. 이중 슬릿 간섭 무늬

Now we would like to consider a matter which was discussed in some detail in Chapter 1. This time we will do it with the full glory of the amplitude idea to show you how it works out. We take the same experiment shown in Fig. 3–1, but now with the addition of a light source behind the two holes, as shown in Fig. 3–3.

이제 1장에서 자세히 다뤘던 사항들을 조목조목 들여다보기로 한다. 이번에는 그런일[전자의 행동이 파동처럼 간섭무늬를 일으킨 사건]이 어떻게 일어날 수 있었는지 확률진폭이라는 멋진 개념을 제대로 활용하여 보겠다. 그림 3-1에서 봤던 것과 똑같은 구성의 실험장치를 가져오되 구멍뒤에 그림 3-3같이 두개의 구멍 사이에 광원을 배치하였다.

In Chapter 1, we discovered the following interesting result. If we looked behind slit 1 and saw a photon scattered from there, then the distribution obtained for the electrons at x in coincidence with these photons was the same as though slit 2 were closed.

1장에서 우리는 아주 흥미로운 것들을 알아 냈었다. 만약에 격자 1 뒤에서 광자가 산란하는 것[광원에서 나온 광자가 지나가는 전자와 부디쳐 반짝임]을 관찰했다고 할 때, x 에서 이 광자들과 연관된 전자들이 발견될 분포[검지기가 위치한 벽면에 도달할 전자들의 분포]는 구멍 2를 막았을 때와 같다[간섭 현상이 없는 것과 같은 결과를 얻었다.]

The total distribution for electrons that had been “seen” at either slit 1 or slit 2 was the sum of the separate distributions and was completely different from the distribution with the light turned off.

구멍 1 또는 구멍 2든 어디에서 봤던간에 전자의 총 분포는 구멍 중 하나를 막고 관찰한 분포를 합친 것과 같은데 이는 광원이 없었을 때와는 완전히 다른 분포였다.

 

This was true at least if we used light of short enough wavelength. If the wavelength was made longer so we could not be sure at which hole the scattering had occurred, the distribution became more like the one with the light turned off.

이는 우리가 광원을 선택할 때 파장이 아주 짧은 광원[큰 에너지를 가진]을 선택하면 그렇게 된다. 만일 긴 파장의 광원을 사용하여 어느 구멍을 통과 해서 산란을 일으켰는지 분간할 수 없게 된다면 도착지에서 전자의 분포는 광원이 없을때와 동일 하게된다.

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1장에서 알았던 사실들,

- 구멍을 한개만 열었을때 차단벽에 놓인 검지기의 x 위치에서 전자가 발견될 확율분포는 P1 또는 P2로 전자나 총알이나 동일하게 나온다. 이를 전자가 입자라는 근거가 됐다.

- 구멍을 두개 열었을 때 수면파는 구멍1과 2를 통과한 파동이 간섭을 일으켜 (c)와 같은 모습을 보여준다.

- 구멍을 두개 열었을때 구멍1과 2를 통과한 전자는 파동처럼 (c)와 같은 간섭 무늬를 보여준다. 이를 근거로 전자의 파동설을 제기됐다.

- 구멍 뒤에 전자가 구멍 1을 지나는지 2를 지나는지 관찰하려고 광원을 배치했다.

- 두 구멍을 였고 실험을 해도 전자의 분포를 보니 총알의 분포 P'_12 와 같이 나타났다.

- 긴 파장의 광원(에너지가 아주 작음)을 가지고 관찰 했더니 간섭 무늬 P_12 가 나타났다.

[이를 두고 관찰하면 입자성을 보이고 관찰하지 않으면 파동성을 보인다고 설명하는 경우가왕왕 보이는데 이는 옳지 않다는 것을 이번에 보여주려고 한다.]

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Let’s examine what is happening by using our new notation and the principles of combining amplitudes. To simplify the writing, we can again let ϕ1 stand for the amplitude that the electron will arrive at x by way of hole 1, that is,

우리가 배운 새로운 표기방법을 사용하여 확률진폭을 합치는 원리에 무슨일이 벌어진 것인지 살펴보자. 표기를 단순화를 위해 구멍 1을 통과한 전자의 확율진폭을 ϕ_1 라고 표기하자.

Similarly, we’ll let ϕ2 stand for the amplitude that the electron gets to the detector by way of hole 2:

같은 이유로 구멍 2를 통과하여 검지기에 도달할 확률진폭 ϕ_2 는 다음과 같이 표현된다.

These are the amplitudes to go through the two holes and arrive at x if there is no light.

이 둘은 관측광원이 없는 상태에서 두 구멍을 통과하여 검지기 x 에 도달할 각각의 확률진폭들이다.

Now if there is light, we ask ourselves the question: What is the amplitude for the process in which the electron starts at s and a photon is liberated by the light source L, ending with the electron at x and a photon seen behind slit 1?

이제 광원이 있다면 이런 질문을 스스로 해보자. s에서 출발한 전자가 x 에 도달하는 과정에서 격자 1의 뒤에 있는 L에서 방출된 광자를 봤을 확률진폭은 어떻게 될까? [다소 구어체 문장이다.]

Suppose that we observe the photon behind slit 1 by means of a detector D1, as shown in Fig. 3–3, and use a similar detector D2 to count photons scattered behind hole 2. There will be an amplitude for a photon to arrive at D1 and an electron at x, and also an amplitude for a photon to arrive at D2 and an electron at x. Let’s try to calculate them.

격자 1 뒤의 광자를 그림 3-3에서 보인 것처럼 D1 이라고 명명한 장치로 관측 한다고 해보자. 이와 같은 용도의 장치 D2가 구멍[격자]2 뒤에서 산란된 광자를 세고 있다고 하자. 장치 D1에 도달한 광자의 확률진폭과 x 에 도달한 전자의 확률진폭이 있을 것이다. 당연히 D2에 도달한 광자의 확률진폭과 x 에 도달한 확률진폭도 있다. 이것들을 계산해 보기로 하자.

Although we don’t have the correct mathematical formula for all the factors that go into this calculation, you will see the spirit of it in the following discussion.

비록 우리가 이 계산을 위해 모든 요인을 감안한 합당한 수학공식을 모두 가지고 있지는 않다하더라도 다음과 같이 정성적(spirit of it)으로 논할 수 있다.

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구멍 뒤에 설치한 광자 검지기의 확률분포: a 와  b

- 검지기 안으로 광자가 들어온 이유는 전자가 지나면서 광자를 산란 시켰기 때문이다. 다라서 전자가 관측 되었다는 뜻이 된다.

- 모든 전자가 광자를 산란 시키지 않는다. 관측되지 않은 전자도 있다.

- 구멍 1을 통과한 전자에 의해 산란된 광자라도 낮은 확율이지만 D2 검지기에서 관찰될 수 있다.

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First, there is the amplitude ⟨1|s⟩ that an electron goes from the source to hole 1. Then we can suppose that there is a certain amplitude that while the electron is at hole 1 it scatters a photon into the detector D1. Let us represent this amplitude by a. Then there is the amplitude ⟨x|1⟩ that the electron goes from slit 1 to the electron detector at x. The amplitude that the electron goes from s to x via slit 1 and scatters a photon into D1 is then

첫째, s 에서 출발해 구멍 1을 통과할 확률진폭은 ⟨1|s⟩ 다. 구멍 1을 통과한 전자가 광자를 산란시켜 D1에 관측될 확률진폭이 어느정도 있을 거라고 짐작할 수 있다. 이 확율 진폭을 a 라 하자. 격자[구멍과 격자를 혼용중이다] 1에서 위치 x의 검지기에 도달할 확율진폭은 ⟨x|1⟩이다. s 에서 출발하여 구멍 1을 지난 전자 중 광자를 산란시켜 D1 으로 들어가게 만든 전자의 확율진폭은 다음과 같다.

Or, in our previous notation, it is just aϕ_1.

앞서 정의한 확률진폭의 표기법을 가져와서 간단하게 aϕ_1 라고 표현하자. [모든 전자가 광자를 산란시킨 것은 아니다. a 는 광자를 산란시킨 일부 전자의 확률이다.]

There is also some amplitude that an electron going through slit 2 will scatter a photon into counter D1. You say, “That’s impossible; how can it scatter into counter D1 if it is only looking at hole 1?” If the wavelength is long enough, there are diffraction effects, and it is certainly possible. If the apparatus is built well and if we use photons of short wavelength, then the amplitude that a photon will be scattered into detector 1, from an electron at 2 is very small

또한 격자 2를 통과하여 광자를 산란시켜 D1으로 보낸 전자의 확률진폭도 있다. 그렇다면 이런 의문을 제기할 수도 있다. " 불가능하지 않아? 장치 D1은 구멍1만 관찰 할텐데 어떻게 구멍 2를 통과한 전자가 산란시킨 광자를 감지 한다는 거지?" 만일 회절효과를 일으킬 만큼 광원의 파장이 아주 길었다면 확률진폭은 아주 작긴 해도 불가능하지 않다.

But to keep the discussion general we want to take into account that there is always some such amplitude, which we will call b. Then the amplitude that an electron goes via slit 2 and scatters a photon into D1 is

하지만 논의의 일관성을 위해 b라고 하는 확률진폭을 기술해 보기로 하자. [파장이나 기타 요인들을 따지지 않고 확률진폭 만을 고려하기로 했다.] 격자 2를 통과하고 광자를 산란시켜 장치 D1로 보낸 전자가 x위치의 검지기에 도착할 확률 진폭은 다음과 같다. 

The amplitude to find the electron at x and the photon in D1 is the sum of two terms, one for each possible path for the electron. Each term is in turn made up of two factors: first, that the electron went through a hole, and second, that the photon is scattered by such an electron into detector 1; we have

결국 x 에서 전자가 발견되고 D1에 들어간 광자를 발견할 확율진폭은 위의 두항을 더해서 구한다. 전자의 가능한 각 경로를 더한 셈이다. 각 항은 결국 두가지 요인을 반영한 것인데, 첫째로는 전자가 한 구멍으로 지나갔다는 것, 둘째로는 광자가 그 구멍을 통과한 전자에 의해 산란되어 감지장치 D1에 들어갈 확률진폭 이다. 정리하면 다음과 같이 말할 수 있다.

[한 전자는 두 구멍을 지날 수 없다. s 를 떠난 전자는 구멍 1혹은 구멍 2를 지나 x 에 도달한다. 도달하는 동안 광자를 산란 시키는데 산란된 광자가 D1에서 관측될 확율진폭은 다음과 같다.]

(3.8)

We can get a similar expression when the photon is found in the other detector D2. If we assume for simplicity that the system is symmetrical, then a is also the amplitude for a photon in D2 when an electron passes through hole 2, and b is the amplitude for a photon in D2 when the electron passes through hole 1. The corresponding total amplitude for a photon at D2 and an electron at x is

광자 관측장치 D2에 대해서도 비슷한 표현을 구할 수 있다. 만일 우리가 시스템의 대칭성을 고려한다면 a 는 구멍 2를 통과한 전자에 의해 산란되어 D2에 관측된 광자의 확률진폭이 되고 b 는 구멍 1을 통과한 전자에 의해 산란되어 D2에 관측된 광자의 확률진폭이다. D2에서 관측된 총 확율진폭과 x 에서 전자의 확율진폭은 다음과 같다. 

(3.9)

[ a와 b는 D1과 D2의 광자관측 확율 진폭이다. 대칭(symmetrical)이라는 의미는 D1 과 D2의 목적이 같았기 때문에 두 장치의 광자관측 확률진폭도 같다는 뜻이다. 즉, a 의 경우 구멍 1을 통과한 전자에 의해 산란된 광자가 D1에서 관측될 확율과 구멍 2를 통과한 전자에 의해 산란된 광자가 D2 관측될 확율은 같다.]

Now we are finished. We can easily calculate the probability for various situations. Suppose that we want to know with what probability we get a count in D1 and an electron at x. That will be the absolute square of the amplitude given in Eq. (3.8), namely, just |aϕ1+bϕ2|^2.

이제 최종 정리를 해보자. 다양한 상황 하에서 경우를 따져 확율을 쉽게 계산 할 수 있게 됐다. 우리가 알고 싶었던 것은 D1에 감지된 [광자의] 수를 가지고 x 에 도달한 전자의 확율을 알고 싶었다. 확률은 확률진폭의 식 (3.8)을 절대값 하여 제곱으로 구하면 |aϕ1+bϕ2|^2 이다. 

[D1에서 감지될 광자는 구멍 1을 통과한 전자에 의해 산란된 광자가 대부분 이지만 조건에 따라 구멍 2를 통과한 전자에 의해 산란된 광자일 확율도 있다.]

-----------------------------

식 (3.8)을 들여다 보자.

aϕ_1 + bϕ_2 = ⟨x|1⟩a⟨1|s⟩ + ⟨x|2⟩b⟨2|s⟩ 

s에서 시작해서 x 도달한 전자의 확율진폭이다. 단, 중간에 관찰자 D1 이라는 관찰자를 거쳤다. 따라서 총 확율진폭은 두 관찰자 경로의 합이다.

-----------------------------

Let’s look more carefully at this expression. First of all, if b is zero—which is the way we would like to design the apparatus—then the answer is simply |ϕ1|^2 diminished in total amplitude by the factor |a|^2. This is the probability distribution that you would get if there were only one hole—as shown in the graph of Fig. 3–4(a).

이 수식을 조심스레 들여다 보자. 무엇보다도 b가 0이면 — 우리가 만들고 싶은 장치이기도 하다 — 총 확율진폭에서 |a|^2의 요인 만으로 축소되어 |ϕ1|^2 가 최종적으로 남는다. 이는 확율분포가 그림 3-4(a) 의 모습처럼 오직 한개의 구멍만 있는 경우로 귀결된다. [구멍이 하나라면 간섭이 일어나지 않는다. 따라서 입자의 확율분포를 보인다.]

On the other hand, if the wavelength is very long, the scattering behind hole 2 into D1 may be just about the same as for hole 1. Although there may be some phases involved in a and b, we can ask about a simple case in which the two phases are equal.

한편 만일 아주 긴 파장의 광원을 사용한 경우 구멍 2의 뒤에서 생기는 산란으로 인한 광자가 구멍 1을 관찰하기 위해 설치한 D1으로 들어갈 수도 있다. 이 경우 a와 b 사이의 위상(phase)을 따져보긴 해야 겠지만 문제를 단순화 하기 위해 두 위상이 같다고 하자.

If a is practically equal to b, then the total probability becomes |ϕ1+ϕ2|^2 multiplied by |a|^2, since the common factor a can be taken out. This, however, is just the probability distribution we would have gotten without the photons at all.

만일 a 와 b가 실질적으로 같다면 총 확율은 각 항에 공통인수를 빼낼 수 있으므로 |a|^2을 곱한 |ϕ1+ϕ2|^2가 된다. 이 확율 분포는 광자를 감안하지 않았을 때와 동일하다 [관찰자가 있으나 없으나 같다.] 

Therefore, in the case that the wavelength is very long—and the photon detection ineffective—you return to the original distribution curve which shows interference effects, as shown in Fig. 3–4(b).

따라서 파장이 아주 긴 광원을 사용한 경우에도 그리고 광자 검출이 효과가 없었어도 그림 3-4(b)와 같은 간섭 효과를 보여주는 원래의 확율분포를 볼 수 있다. 

In the case that the detection is partially effective, there is an interference between a lot of ϕ_1 and a little of ϕ_2, and you will get an intermediate distribution such as is sketched in Fig. 3–4(c).

관찰이 부분적으로 효과를 본 경우, 말하자면 ϕ_1의 간섭이 강하고 과 ϕ_2는 약할 경우 그림 3-4(c) 같은 다소 중간적인 [치우친] 확율 분포를 얻게 된다.

Needless to say, if we look for coincidence counts of photons at D2 and electrons at x, we will get the same kinds of results. If you remember the discussion in Chapter 1, you will see that these results give a quantitative description of what was described there.

두말할 필요도 없이 D2의 관찰장치와 x 에 도달한 전자의 확율진폭을 연관시켜 놓으면 동일한 결과를 얻을 수 있다. 이미 1장에서 했던 논의를 기억한다면, 그때 서술했던 사항들의 정량적 결과를 얻을 수 있다. [1장에서 확율진폭을 갖는 입자의 파동성을 사고실험으로 논의 했었다. 이제는 수식으로 보여준다.]

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Now we would like to emphasize an important point so that you will avoid a common error. Suppose that you only want the amplitude that the electron arrives at x, regardless of whether the photon was counted at D1 or D2.

이제 흔히 범하는 실수를 막아보고자 이점을 강조해 보고자한다. D1 과 D2 에서 얼마나 많은 광자가 관측되는지 상관 없이 x 에 도착하는 전자의 확률진폭 만을 알고 싶다고 해보자.

Should you add the amplitudes given in Eqs. (3.8) and (3.9)?

식 (3.8) 과 (3.9)에 표현된 확률진폭을 더하면 될까?

No! You must never add amplitudes for different and distinct final states.

그렇지 않다! 최종 상태가 다른 혹은 구분되는 진폭은 절대 더하면 않된다.

[식 (3.8)은 관측기 D1을 놓고 실시한 최종 실험치를 보여준다. 식 (3.9)는 관측기 D2를 놓고 실시한 최종 실험치를 보여준다. 즉 두 식은 최종 상태가 다른 확률진폭이다.]

Once the photon is accepted by one of the photon counters, we can always determine which alternative occurred if we want, without any further disturbance to the system. Each alternative has a probability completely independent of the other.

두 광자 계수기 중 어느 한곳에 광자가 하나라도 관측되면 시스템을 방해하지 않고[관측 실험 환경을 그대로 둔채] 언재든 다른 결과를 낼 수 있다. 그때마다 얻은 각각 다른 결과의 확율은 서로 완전히 독립적이다.

[확율은 실험 할때 마다 다른 결과를 낼 수 있다는 점에 유의하자. 이는 확율에 관한 일반적인 상식이다. 주사위 놀이나 복권 당첨의 확율을 이야기 할때 이전의 결과가 향후 번호에 아무런 영향을 주지 못하는 것과 같다. 확율은 기억효과가 없다는 점을 알아두자.]

To repeat, do not add amplitudes for different final conditions, where by “final” we mean at that moment the probability is desired—that is, when the experiment is “finished.”

다시말하지만 서로다른 최종상태에 대한 확율은 더하면 않된다. 이때 확율을 의미할 때 "최종"이라는 말은 실험이 종료했을 시점을 말한다.

[주사위의 눈이 나올 확율은 1/6이다. 한두번 실시해서는 이 확율이 나오지 않는다. 충분히 실험을 '완료'한 후에 확율을 따져야 한다.]

You do add the amplitudes for the different indistinguishable alternatives inside the experiment, before the complete process is finished. At the end of the process you may say that you “don’t want to look at the photon.” That’s your business, but you still do not add the amplitudes.

당신은 [실험]과정이 완전히 종료되기 전에 실험 도중의 구분할 수 없는 각각의 확율진폭을 더하고 싶을 것이다. 실험이 끝에 이르러서는 "광자에 대해선 알고싶지 않다"고 말할지도 모른다. 그렇게 말하거나 말거나 상관 없는데 확률진폭을 더하는 짓은 하지 말자.

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Nature does not know what you are looking at, and she behaves the way she is going to behave whether you bother to take down the data or not.

자연은 당신이 뭘 관찰하고 있는지 모른다. 자연은 당신이 어떤 자료를 얻으려는지 상관 하지 않고 움직인다.

[관찰하면 입자성을 보이고 관찰하지 않으면 파동성을 보인다고 설명하는 경우가 왕왕 있는데 이는 옳지 않다. 자연은 당신이 뭘 하든 상관 없이 본성대로 작동한다.]

-----------------------------------------

So here we must not add the amplitudes.

그러니 지금 진폭을 더하면 않된다.

[실험이 끝나지 않은 지금, 광자 관측장치 D1 만 가지고 측정한 확률진폭 식(3.8)과 관측장치 D2 만 가지고 구한 확율진폭, 식(3.9)을 더해서 확율을 구하면 않된다. 즉, |(aϕ_1+bϕ_2) + (bϕ_1+aϕ_2)|^2 는 않된다.]

We first square the amplitudes for all possible different final events and then sum. The correct result for an electron at x and a photon at either D1 or D2 is

모든 가능한 개별적인 결과를 먼저 구하고 난 후 취합해야 한다. D1과 D2의 광자 확률진폭과 전자가 x 에 도달할 바른 확률은 다음과 같다.

(3.10)

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[참고]

1. 차교수와 물리산책[링크]

2. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/

3. 차교수와 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/3강[강의]/[원문]

[처음][이전][다음]

[파인만 양자역학] 3-1. 진폭을 결합하는 법칙들 [2/2] (The laws for combining amplitudes)

[파인만 양자역학] 3-1. 진폭을 결합하는 법칙들 [2/2] (The laws for combining amplitudes)

[참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/2강[강의]/[원문]
[처음][이전][다음]

[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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3. Probability Amplitudes
3장. 확률 진폭

3-1. The laws for combining amplitudes [2/2]
3-1. 진폭을 결합하는 법칙들 [2/2]

<계속>

We give it so that you can solve problems involving various combinations of slits.

다양한 슬릿(slit, 전자가 통과할 구멍이 뚫린 벽)의 조합으로 구성되었더라도 진폭을 계산할 수 있게 됐다.

[앞서 "확률 진폭"의 세가지 원리: 복소수로 표현하여 절대값 제곱, 진폭의 곱의 원리, 진폭의 합의 원리를 세웠었다.]

Suppose a particle with a definite energy is going in empty space from a location r1 to a location r2. In other words, it is a free particle with no forces on it.

고유 에너지(definite energy)를 가진 전자가 빈 공간(empty space)에서 위치 r1에서 r2로 움직인다고 하자. 이를 달리 말하면 외부 힘의 영향을 받지 않는 공간에 자유입자가 있다고 하자.

[빈공간에서 자유전자의 이동: 외부 힘의 영향을 받아 가속되거나 충전되는 등 에너지를 더 얻게되지 않은 전자가 별도의 힘이 작용하지 않는 공간에서 이동]

Except for a numerical factor in front, the amplitude to go from r1 to r2 is

이 입자가 위치 r1에서 r2로 이동할 때의 확률진폭[이동후 발견될 확률의 진폭]을 상수 곱을 생략 하고 표현하면 다음과 같다.

    ⟨r2|r1⟩ = e^(ipr_12/ℏ)/r_12    ............................    (3.7)

where r_12 = |r_2 − r_1|, and p is the momentum which is related to the energy E by the relativistic equation

이 식에서 r_12 는 |r_2 − r_1| 로 이동거리[공간에서 위치 벡터의 절대값 차분]이며 p 는 운동량으로 상대론의 에너지 관련 식으로 표현하면 다음과 같다.

    (p^2)(c^2) = (E^2) − ((m_0)(c^2))^2,

or the nonrelativistic equation

또는 비 상대론적으로 표현한 운동량은 다음과 같다.

    (p^2)/2m = Kinetic energy ; [운동에너지 E_k]

['상대론적' 과 '비 상대론적': 속도 v 로 움직이는 물체의 운동을 해석할 때 상수화 한 빛의 속도 c 를 고려했을 때 상대론적(relativistic), 속도 v가 빛의 속도에 비해 매우 작을 경우 (v/c)^2 항을 무시하면 비 상대론적(non-relativistic)]

[에너지 E 로 정하는 선운동량: 속도를 변수로 운동을 해석. 힘으로 해석하는 운동은 시간을 주요 변수로 취급한다. 변위에 대한 시간 미분은 속도, 속도에 대한 시간 미분은 가속도다.]

Equation (3.7) says in effect that the particle has wavelike properties, the amplitude propagating as a wave with a wave number equal to the momentum divided by ℏ.

식 (3.7)은 입자가 파동성을 가지고 있기에 나타난 효과를 보여준다. [확률]진폭이 운동량을 ℏ로 나눈 파수(wave number)를 가진 파동처럼 퍼져나간 것이다.

In the most general case, the amplitude and the corresponding probability will also involve the time.

진폭과 그에 대응하는 확률(the amplitude and the corresponding probability)은 시간에 연계되어 있기 마련이다.

[진폭과 그에 대응하는 확률(the amplitude and the corresponding probability): 한마디로 '확률 진폭'. 빈공간에서 움직이는 자유입자의 위치를 특정할(발견할) 확률은 시간과 공간에 따라 마치 파동처럼 변한다. '파동처럼'의 근거는 확률이 마치 파동의 간섭현상과 같았기 때문이다.]

For most of these initial discussions we will suppose that the source always emits the particles with a given energy so we will not need to worry about the time.

하지만 초기[기초단계] 논의에서 [실험장치의 전자 발생기(전자총)는] 항상 동일한 비율로 전자를 방출한다고 놨으므로 시간의 영향은 배제하기로 한다.

[시간에 따라 입자의 발생량이 달라 진다든가 외력에 의해 가속(시간 편미분으로 얻어지는 물리량)되는 경우라면 시간도 고려되어야 한다. 하지만 지금은 기초단계이므로 공간 만을 고려하여 논의를 단순화 하자. 공간만 고려해도 그리 단순한 문제가 아니다.]

But we could, in the general case, be interested in some other questions. Suppose that a particle is liberated at a certain place P at a certain time, and you would like to know the amplitude for it to arrive at some location, say r, at some later time.

하지만 이런 의문[시간을 고려한 의문]을 가질 수 있다. 입자가 어느 순간 임의 위치 P에서 놓여졌다가 다른 시각에 r 이라고 하는 다른 위치에 도착할[발견될] 확율[진폭]은 어떻게 될지 생각해보자.

This could be represented symbolically as the amplitude ⟨r,t=t1|P,t=0⟩. Clearly, this will depend upon both r and t. You will get different results if you put the detector in different places and measure at different times.

이런 문제를 [앞서 배운 브라켓 표기법을 도입하여] 확률진폭으로 표현하면 ⟨r,t=t1|P,t=0⟩ 와 같이 기술 할 수 있을 것이다. 여기에는 확실하게 위치 r 과 시간 t가 포함되어 있다. 감지기를 다른장소에 놓거나 측정 시간을 달리하면 다른 결과를 얻게 된다.

[확율진폭이 시간과 위치의 함수다. 이는 파동이 주파수(시간)와 파수(위치)의 함수라는 것과 같다. 예를 들어 사인파는 sin(kx - ωt) 다.] 

This function of r and t, in general, satisfies a differential equation which is a wave equation. For example, in a nonrelativistic case it is the Schrödinger equation.

파동 방정식을 표현한 미분 방정식을 풀면 시간과 위치의 함수가 된다. 일예로 슈뢰딩거 방정식이 바로 비 상대론적인 경우에 해당한다. [슈뢰딩거 방정식은 시간과 공간에 대한 편미분 방정식으로 그 해는 파동 함수다.]

One has then a wave equation analogous to the equation for electromagnetic waves or waves of sound in a gas.

사람들은 파동 방정식(wave equation)을 전자기파나 공기중 음파에 적용해왔다.

However, it must be emphasized that the wave function that satisfies the equation is not like a real wave in space; one cannot picture any kind of reality to this wave as one does for a sound wave.

하지만 그 방정식을 만족하는[시간과 공간의 편미분 방정식의 해인] 파동함수는 공간의 실제 파동이 아니라는 점을 알아야 한다. 음파에 대해 그랬던 것과는 달리 어떠한 면도 적용시킬 수 없다.

[파동의 개념은 주기적으로 동일한 현상이 반복된다는 의미다. 이 주기성으로 인해 간섭 현상을 일으키기 때문에 (빛, 전파 같은) 물리적 대상이 파동인지 아닌지 판단의 실험적 근거가 된다. 파동의 개념은 세가지 현상에 적용되었는데 역학적 파동(음파, 진동하는 쇠줄 등), 전자기파(전파, 빛 등) 그리고 확률파가 있다. 이 세가지 파동현상은 오직 간섭(interference)현상이외에 어떤 연관성도 없다. 단지 현상이 시간과 공간의 편미분 방정식으로 기술되었고 그 해(solution)가 파동함수 였을 뿐이다.]

Although one may be tempted to think in terms of “particle waves” when dealing with one particle, it is not a good idea, for if there are, say, two particles, the amplitude to find one at r1 and the other at r2 is not a simple wave in three-dimensional space, but depends on the six space variables r1 and r2.

입자를 다룰 때 "입자 파동"이라는 용어를 도입하고 싶겠지만 이는 좋은 생각이 아니다. 왜냐면, 한개의 입자라면 몰라도 만일 입자가 두개라면, 그러니까 r1이라는 위치에 한 입자가 있고 r2에 다른 입자가 있을 때 3차원 공간에서 이를 발견할 확률진폭은 단순한 파동[앞서 예로든 경우 감지기는 일차원의 위치변화 였다]이 아니고 r1과 r2에 [각각 세개의 좌표 값을 가지므로] 여섯개의 공간[위치]변수에 의존하기 때문이다.

If we are, for example, dealing with two (or more) particles, we will need the following additional principle: Provided that the two particles do not interact, the amplitude that one particle will do one thing and the other one something else is the product of the two amplitudes that the two particles would do the two things separately.

만일 두개 혹은 그이상의 복수개의 입자를 다룰경우 다음과 같은 추가적인 원리를 도입할 필요가 있다. 두 입자는 서로 상호작용 하지 말아야 하며, 한 입자가 벌일 사건(thing)과 다른 입자가 벌일 사건(something else)의 확률은 두 각각 확율진폭의 곱하여 구하고 그리하여 구한 확율진폭은 두 입자가 두 사건을 개별적으로 벌린 사건이다.

[개별 입자는 저마다 독립적인 확률진폭을 가지며, 복수의 입자의 확율진폭은 각 입자의 확율진폭의 곱이다. 두 입자를 발견할 위치의 확율은 개별 입자의 확율진폭의 곱이다. 한 입자를 발견하고 다른 입자를 발견할 확율진폭은 개별 입자의 확율진폭의 곱이다. 상호작용이 없는 두 확율에서 '~고(and)'는 확율 곱을 의미한다.]

For example, if ⟨a|s1⟩ is the amplitude for particle 1 to go from s1 to a, and ⟨b|s2⟩ is the amplitude for particle 2 to go from s2 to b, the amplitude that both things will happen together is

예를 들어 입자1이 시작위치 s1에서 a 로 갈 확률진폭을 ⟨a|s1⟩라고 하고 입자2가 시작위치 s2에서 b로 갈 확율진폭을 ⟨b|s2⟩라 한다면 두 일이 일어날 확율진폭은 각 확율진폭의 곱으로 다음과 같이 표현한다.

⟨a|s1⟩⟨b|s2⟩

There is one more point to emphasize. Suppose that we didn’t know where the particles in Fig. 3–2 come from before arriving at holes 1 and 2 of the first wall. We can still make a prediction of what will happen beyond the wall (for example, the amplitude to arrive at x) provided that we are given two numbers: the amplitude to have arrived at 1 and the amplitude to have arrived at 2.

한가지 더 일러둘 것이 있다. 우리가 그림 3-2의 그림에서 입자가 구멍 1과 2에 도착하기 전에 첫째 벽의 어디에서 왔는지 모른다고 하자. 그렇더라도 우리는 [구멍 1과 2가 뚤린 두번째] 벽을 지난 이후 행적(말하자면 x의 위치에 도달할 확율진폭)을 이미 알고 있는 두 값(numbers), 그러니까 구멍1에 도착할 확율진폭, 구멍 2에 도착할 확율진폭을 가지고 예측할 수 있다.

In other words, because of the fact that the amplitude for successive events multiplies, as shown in Eq. (3.6), all you need to know to continue the analysis is two numbers—in this particular case ⟨1|s⟩ and ⟨2|s⟩.

부연하자면 연속된 사건[구멍 통과]의 확율진폭은 식 (3.6)처럼 곱하여 구할 수 있기 때문에 향후 진행될 사건의 분석을 위해서는 두 숫자 [복소수 값으로 표현될], 두 입자의 예에서는 ⟨1|s⟩ 과 ⟨2|s⟩ 만 알면 된다.

These two complex numbers are enough to predict all the future. That is what really makes quantum mechanics easy. It turns out that in later chapters we are going to do just such a thing when we specify a starting condition in terms of two (or a few) numbers.

앞으로 벌어질 사건[어느 위치에 입자가 있을지]은 이들 두개의 복소수들로 예측하기에 충분하다. 이점[각 입자의 개별적인 확율 곱으로 복수 입자의 사건을 예측할 수 있다는 원리]이 바로 양자역학을 참으로 쉽게 한다. 앞으로 이어질 장에서 두개(입자마다 복수개)의 시작조건[초기조건]을 나타내는 숫자[복소수]를 가지고 일어날 사건을 예측 할 수 있다는 것을 보게 될 것이다.

Of course, these numbers depend upon where the source is located and possibly other details about the apparatus, but given the two numbers, we do not need to know any more about such details.

물론 이 숫자들은 입자의 [입자의] 시작위치와 기타 여러 관측장치의 위치에 따라 달라질 터지만 어쨋든 두 숫자[입자를 두개만 생각했으므로 두 숫자]만 알면 이외 어떤 것들도 자세히 알아낼 수 있다.

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[참고]

1. 차교수와 물리산책[링크]

2. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/

3. 차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/2강[강의]/[원문]

[처음][이전][다음]

[파인만 양자역학] 3-1. 진폭을 결합하는 법칙들 [1/2] (The laws for combining amplitudes)

[파인만 양자역학] 3-1. 진폭을 결합하는 법칙들 [1/2](The laws for combining amplitudes)

[참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/1강[강의]/[원문]

[처음][이전][다음]

[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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3. Probability Amplitudes
3장. 확률 진폭

3-1. The laws for combining amplitudes
3-1. 진폭을 결합하는 법칙들

When Schrödinger first discovered the correct laws of quantum mechanics, he wrote an equation which described the amplitude to find a particle in various places. This equation was very similar to the equations that were already known to classical physicists—equations that they had used in describing the motion of air in a sound wave, the transmission of light, and so on. So most of the time at the beginning of quantum mechanics was spent in solving this equation.

슈뢰딩거가 처음 양자역학에 맞는 법칙을 발견(discover!) 했을 때 그가 작성한 것은 거리상에 파동의 진폭[파동이 이동하는 경로상의 각지점에서 파동의 높이]를 기술하는 방정식이었다. 이 방정식은 고전 물리학에서도 익히 알려진 공기중에서 소리의 퍼짐이나 빛의 전파 같은 그런 방정식[시간에 대한 이차 미분 방정식]과 비슷했다. 그렇기 때문에 양자역학의 초창기 대부분은 이 방정식을 푸는데 시간을 보냈다.

[수학 문제를 풀면 뭔가 답이 나올거라는 희망을 품었다. 양자역학의 미시세계에 대한 새로운 개념은 쉽게 받아들이기 어려웠을 터이니 방정식이라도 풀고 싶었을 것이다.]

But at the same time an understanding was being developed, particularly by Born and Dirac, of the basically new physical ideas behind quantum mechanics.

하지만 [방정식에 메달리기와] 동시에 [양자역학의 개념의] 이해도 진행 되었다. 특히 보른, 디랙과 같은 이들은 양자역학에 내재된 새로운 물리학적 개념을 발전 시켰다.

[슈뢰딩거는 고전 물리학에서도 이미 알려진 파동의 방정식이 양자역학에도 적용될 수 있다는 것을 발견하였다. 보른, 디랙 같은 학자들은 이미 고전 물리학에서 거시세계의 자연현상을 설명하던 이차 미분 방정식이 미시세계에도 적용(물론 파동의 물리적인 현상이 아닌 확률진폭이라는 신개념으로 적용)될 수 있는 이유를 파헤치면서 양자 역학의 이론을 발전 시켰다.]

As quantum mechanics developed further, it turned out that there were a large number of things which were not directly encompassed in the Schrödinger equation—such as the spin of the electron, and various relativistic phenomena.

양자역학의 개념이 더 발전되자 슈뢰딩거 방정식과는 아무 관련이 없는 수많은 사항들이 등장하게 됐다. 일테면 전자의 스핀, 여러가지 상대론적인 현상들 등등.

[슈뢰딩거 파동 방정식은 그저 이차 미분 방정식으로 그 풀이는 파동이다. 이 풀이에 스핀이니 상대론적 현상 따위는 없다. 왜 파동의 진행 방향에서 위치와 시간의 함수가 확률 진폭이 되는지 그에 대한 궁금증을 풀려다 다른 양자역학 개념들이 파생되었다.]

Traditionally, all courses in quantum mechanics have begun in the same way, retracing the path followed in the historical development of the subject. One first learns a great deal about classical mechanics so that he will be able to understand how to solve the Schrödinger equation. Then he spends a long time working out various solutions. Only after a detailed study of this equation does he get to the “advanced” subject of the electron’s spin.

양자역학을 다루는 이전의 대부분 교육과정은 대동소이하게도 대개 역사적으로 거쳐왔던 경로를 따랐다. 고전역학에 많은 시간을 할애하여 학습을 한 후 슈뢰딩거 방정식을 어떻게 푸는지 해법을 이해하게 된다. 다양한 풀이법을 다루며 오랜시간을 투자했다. 이 방정식이 어떤 의미인지 자세히 살펴본 후에야 비로서 전자의 스핀이라는 "발전된" 화두에 도달하게 되었다.

[파동 방정식을 풀기 위해 고전 물리학에 몰입된 상태에서 마침내 슈뢰딩거 방정식을 풀고 이를 더 확대 발전 시킬 수 있는 "창의적" 사고를 했다는 점은 커다란 "발전"이다.]

We had also originally considered that the right way to conclude these lectures on physics was to show how to solve the equations of classical physics in complicated situations—such as the description of sound waves in enclosed regions, modes of electromagnetic radiation in cylindrical cavities, and so on. That was the original plan for this course.

우리는 처음에 고려했던 것은 이 물리학 강좌가 지향할(to conclude) 바른 방향은 다양한 조건에서 고전 물리학의 방정식들을 어떻게 푸는지 보여주는 거였다. 일테면 한정된 영역에서 음파의 기술이나 원통 통로(cavity)에서의 전자기 복사 방식 같은 그런 것이 이 강좌의 애초 목표였다.

However, we have decided to abandon that plan and to give instead an introduction to the quantum mechanics. We have come to the conclusion that what are usually called the advanced parts of quantum mechanics are, in fact, quite simple.

하지만 우리는 이 계획을 철회하기로 결정 했다. 그대신 양자역학 입문편을 하기로 했다. 우리가 고급 양자역학 이라고 하는 부분이 알고보면 아주 단순하다는 결론에 도달했기 때문이다.

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The mathematics that is involved is particularly simple, involving simple algebraic operations and no differential equations or at most only very simple ones. The only problem is that we must jump the gap of no longer being able to describe the behavior in detail of particles in space.

[양자역학에 담긴] 수학은 특히 더 간단하다. 단순한 대수연산들을 포함할 뿐 미분 방정식은 없는데 있다고 해봐야 아주 단순하다. 유일하게 뛰어 넘어야할 틈이라면 공간상에 있는 입자를 세밀하게 기술할 능력이 없다는 점이다.

[벡터 미적분/미분방정식을 공부해 보자. 학교에서 성적 따려고 배울때 보다 심심풀이로 공부하기 좋은 강좌가 많다. 취미로 미적분과 미분방정식을 공부한다고 이야기 하면 멋지지 않나? 바로 양자역학을 취미로 공부한다고 하듯이.]

1. 미적분학-III/벡터 미적분
2. 공대생을 위한 미분 방정식

So this is what we are going to try to do: to tell you about what conventionally would be called the “advanced” parts of quantum mechanics. But they are, we assure you, by all odds the simplest parts—in a deep sense of the word—as well as the most basic parts. This is frankly a pedagogical experiment; it has never been done before, as far as we know.

그래서 지금부터 하려는 것이 이것이다. 이전에는 "고등" 양자역학이라고 했던 부분을 선보이려 한다. 하지만 이부분은 장담컨데 어딜 보더라도(by all odds) 기초편 만큼이나 말 그대로 단순하다[밑거나 말거나...]

In this subject we have, of course, the difficulty that the quantum mechanical behavior of things is quite strange. Nobody has an everyday experience to lean on to get a rough, intuitive idea of what will happen.

물론 우리는 이 과목에서 다루는 양자역학적 행동들을 받아들이기는 아주 어렵다. 누구도 무슨일이 벌어질지 개략적이거나 직감적인 생각을 일상 생활에서 경험한 사람은 없다.

[양자역학에서 다루는 미시세계의 현상을 거시세계에서 사는 사람으로써 경험해본 바도 없고 짐작도 못한다. 그러니 양자역학적 행동을 받아들이기 어려운 것이지 수학이 어려운 것이 아니다. 이해하지 못하겠으니 괜시리 '고등' 수학을 끄집어내서 힘들게 하는데 이는 '이상한' 물리학자들의 변명이 아닐까?]

So there are two ways of presenting the subject: We could either describe what can happen in a rather rough physical way, telling you more or less what happens without giving the precise laws of everything; or we could, on the other hand, give the precise laws in their abstract form.

그런데 이 주제를 다루는 두가지 길이 있다. 우리는 둘 모두를 취할 수 있다. 많든 적든 이 세상의 모든 법칙들을 세세히 동원하지 않고 좀더 물리학적인 측면에서 다루거나 좀더 추상화된 형식으로 구체적인 법칙들을 제시하는 방법도 있다.   

But, then because of the abstractions, you wouldn’t know what they were all about, physically. The latter method is unsatisfactory because it is completely abstract, and the first way leaves an uncomfortable feeling because one doesn’t know exactly what is true and what is false.

하지만 추상화로 인해 물리적인 의미를 완전히 파악하지 못하게 될 수도 있다. 후자의 방법은 너무나 추상적일 경우 만족스럽지 못할 수 있다. 그리고 전자의 경우 무엇이 맞는 말이고 무엇이 그른지 확실히 알지 못하기에 꺼림칙함을 남긴다.

['추상화'란 복합적 의미와 복잡한 절차를 한개의 상징으로 단순화 시키는 것을 말한다. 너무 고도로 추상화 수준에서 논하다보면 선문답이 될 수도 있다. 방정식 풀이에 집착하는 경우 막상 문제를 풀어 놓고도 그 의미를 깨닳지 못할 수 있다.]

We are not sure how to overcome this difficulty. You will notice, in fact, that Chapters 1 and 2 showed this problem. The first chapter was relatively precise; but the second chapter was a rough description of the characteristics of different phenomena. Here, we will try to find a happy medium between the two extremes.

우리는 이런 어려움을 어떻게 극복할지 확신이 없었다. 사실 여러분들은 1장과 2장에서 이 문제를 노출했었다는 점을 알아 챘을 것이다. 첫째 장은 상대적으로 구체성을 띄었다[여러 실험 상황을 제시하고 일일이 비교 설명함]. 하지만 둘째장은 서로다른 현상에 대해 개략적인 언급을 했었다[입자성과 파동성 관점의 차이]. 이제 두 극단에서 만족할 만한 중간선을 찾아보기로 하자.

We will begin in this chapter by dealing with some general quantum mechanical ideas. Some of the statements will be quite precise, others only partially precise. It will be hard to tell you as we go along which is which, but by the time you have finished the rest of the book, you will understand in looking back which parts hold up and which parts were only explained roughly.

이번 장은 양자역학의 일반적 개념을 다루는 것부터 시작해보자. 어떤 설명은 아주 구체적일 것이며 어떤 점은 상대적으로 느슨할 것이다. 어떤 면이 구체적이거나 구체적이지 않다고 일일이 말하긴 어렵겠지만 시간이 지나고 이 책의 마지막에 도달해서 되돌아보면 어느 부분이 끝까지 들고갈 내용이었고 어떤 부분이 임시로 개략적인 기술이었는지 깨닳게 될 것이다.

The chapters which follow this one will not be so imprecise. In fact, one of the reasons we have tried carefully to be precise in the succeeding chapters is so that we can show you one of the most beautiful things about quantum mechanics—how much can be deduced from so little.

이번 장에 이어질 장에서 다룰 내용은 결코 개략적이 아니다[이제 본격적으로 다룬다는 예고.] 사실 이후 장에서 조심스럽지만 세세히 다루려 하는 이유는 양자역학의 가장 아름다운 면을 보여주려고 하기 때문이다. 작은 것에서 얼마나 커다랗게 뻗어나갈지 기대해보라.

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We begin by discussing again the superposition of probability amplitudes. As an example we will refer to the experiment described in Chapter 1, and shown again here in Fig. 3–1. There is a source s of particles, say electrons; then there is a wall with two slits in it; after the wall, there is a detector located at some position x.

확율진폭의 중첩을 다시 꺼내 논의를 시작해보자. 예로 그림 3-1에 보인 것 처럼 1장에서 기술한 실험을 참조하겠다. 전자 입자의 출발지를 s 라 하고 중간에 두개의 구멍이 뚫린 벽이  있으며 벽을 지나 도착지의 어느 지점 x 에 검지기가 놓였다.  

We ask for the probability that a particle will be found at x. Our first general principle in quantum mechanics is that the probability that a particle will arrive at x, when let out at the source s, can be represented quantitatively by the absolute square of a complex number called a probability amplitude—in this case, the “amplitude that a particle from s will arrive at x.”

위치 x 지점에서 한 입자가 발견될 확률을 구하려 했다. 우리가 접한 양자역학의 첫번째 일반 원리는 출발점 s를 떠난 입자가 x 지점에 도달할 가능성이 어느 정도 인지 정량적으로 나타내는 것[확율] 이었다. 이 확률은 확률진폭이라고 하는 복소수를 제곱하여 절대값을 취해 구할 수 있다는 것이었다. 그러니까 "s 를 떠나 x에 도착할 입자의 확률 진폭"이라고 하면 되겠다.

[확율 분포가 마치 파동의 간섭의 현상과 같은 양상을 띌 뿐이지 실제로 입자가 파동의 운동을 한다는 뜻이 아니다.]

We will use such amplitudes so frequently that we will use a shorthand notation—invented by Dirac and generally used in quantum mechanics—to represent this idea. We write the probability amplitude this way:

앞으로 이러한 표현이 매우 빈번히 나올 것이므로 좀 간략히 표기하기로 하자. 디랙(Dirac)에 의해 고안되어 양자역학 분야에서 [확률 진폭의] 개념을 나타내기 위해 널리 사용된 표기법이다. 이제 확률진폭은 아래와 같이 표기한다.

    ⟨Particle arrives at x | particle leaves s⟩    ................................    (3.1)

In other words, the two brackets ⟨⟩ are a sign equivalent to “the amplitude that”; the expression at the right of the vertical line always gives the starting condition, and the one at the left, the final condition.

다른 말로 하면 두 브라켓 <>은 "~과정을 거친 진폭" 이라는 뜻을 표현한다. 이런 표현은 가운데 수직선을 두고 오른편이 출발점의 조건을 나타내며 왼편은 최종지의 상황을 나타낸다.

[복잡한 과정을 거친 복합적인 의미를 간략히 상징화 하는 것을 '추상화'라고 한다. 브라켓 <>는 출발지의 조건과 도착지에서 입자가 발견될 확률진폭을 단순하게 상징화 했다.]

Sometimes it will also be convenient to abbreviate still more and describe the initial and final conditions by single letters. For example, we may on occasion write the amplitude (3.1) as

출발지 조건과 도착지 상황을 알파벳 문자 한개로 표현하면 좀더 편할 것이다. 예를 들어 진폭 (3.1)을 다음과 같이 쓴다.

    ⟨x|s⟩    ...................................    (3.2)

We want to emphasize that such an amplitude is, of course, just a single number—a complex number.

그렇게 영문자 한개로 표현하긴 했지만 당연히 복소수로서 진폭을 나타낸 것이란 점을 강조해 둔다.

We have already seen in the discussion of Chapter 1 that when there are two ways for the particle to reach the detector, the resulting probability is not the sum of the two probabilities, but must be written as the absolute square of the sum of two amplitudes. We had that the probability that an electron arrives at the detector when both paths are open is

이미 1장에서도 봤지만 검지기에 도달하기 까지 입자에게는 두가지 길이 있고 두 경로를 지난 확율의 합은 각 경로를 지난 확율의 합과 같지 않다. 그렇더라도 [두 구멍을 열어놓음] 최종 확율은 두 [확율]진폭의 합에 절대값 제곱으로 표현되어야 한다. 두개의 경로를 열어놓고 감지기에 도착할 전자의 확율은 다음과 같이 얻는다.

    P_12 = |ϕ_1 + ϕ_2|^2    ..............................    (3.3)

We wish now to put this result in terms of our new notation. First, however, we want to state our second general principle of quantum mechanics: When a particle can reach a given state by two possible routes, the total amplitude for the process is the sum of the amplitudes for the two routes considered separately. In our new notation we write that

이제 이 결과를 새로운 표기법으로 표현해 보고자 한다. 먼저 그전에 양자역학의 두번째 일반 원리를 되새겨 본다. 입자가 거치게 될 경로가 두개라고 할 때, 총 진폭은 각 경로를 개별적으로 구한 진폭의 합하는 방식으로 구한다.

    ⟨x|s⟩_both holes open = ⟨x|s⟩_through_1 + ⟨x|s⟩_through_2    ................    (3.4)

Incidentally, we are going to suppose that the holes 1 and 2 are small enough that when we say an electron goes through the hole, we don’t have to discuss which part of the hole. We could, of course, split each hole into pieces with a certain amplitude that the electron goes to the top of the hole and the bottom of the hole and so on.

부연해서 설명해 둘 점은 구멍 1과 2는 전자 하나가 통과할 정도로 충분히 작다고 가정하고 구멍의 어느 부분에 닿는지에 대해선 고려하지 않겠다. 물론 전자가 한 구멍의 윗부분과 다른 구멍의 아랫부분 사이를 특정 진폭을 고려해 분리해 놓을 수 있다는 등의 고려사항이 가능 하다고 하놓겠다. [구멍의 물리적 형상으로 인해 전자의 경로가 변경될 수 있다는 점은 고려하지 않겠다.]

We will suppose that the hole is small enough so that we don’t have to worry about this detail. That is part of the roughness involved; the matter can be made more precise, but we don’t want to do so at this stage.

우리는 구멍이 충분히 작아서 구멍에 대한 세세한 영향에 대해서 고려하지 않기로 하겠다. 이는 간략화 하는 면이 있는데 더 정밀하게 취급할 요인이지만 지금 단계에서는 그렇게 하진 않겠다.

Now we want to write out in more detail what we can say about the amplitude for the process in which the electron reaches the detector at x by way of hole 1. We can do that by using our third general principle: When a particle goes by some particular route the amplitude for that route can be written as the product of the amplitude to go part way with the amplitude to go the rest of the way.

이제 전자가 구멍 1을 통과한 후 x 지점에 놓인 검지기에 도달하는 과정을 좀더 구체적으로 기술하려고 한다. 이 시점에서 세번째 일반 원리를 적용한다. 입자가 특정 경로를 지날때 그 경로상의 진폭은 거쳐간 부분 구간의 진폭의 곱으로 표현한다.

[양자역학을 다룰 때  확율진폭 계산을 위한 계산법으로써 도입한 세가지 일반 원리(general principle)를 정의한다. 첫번째, 확율진폭은 복소수로 표현하고 진폭 값은 절대값의 제곱하여 구한다. 이 진폭값을 브라켓 표기법을 활용 하겠다. 두번째, 입자가 통과 할 경로가 여럿일 경우 총 확율 진폭은 각 경로의 확율 진포의 합으로 구한다. 세번째, 전자가 지나갈 한 경로가 부분적으로 나뉠 경우 그 경로의 확율진폭은 각 부분 경로의 확율진폭의 곱으로 구한다. 확율진폭의 덧셈과 곱셈의 의미는 나중에 따져보기로 하고 일단 원리로써 정리해 둔다.]

For the setup of Fig. 3–1 the amplitude to go from s to x by way of hole 1 is equal to the amplitude to go from s to 1, multiplied by the amplitude to go from 1 to x.

그림 3-1과 같은 실험 구조에서 전자의 근원(출발)지 s에서 구멍 1을 지나 x에 이르는 경로의 [확률]진폭은 s에서 구멍 1까지의 진폭과 구멍 1에서 x에 이르는 진폭의 곱과 같다.

     ⟨x|s⟩_via_1 = ⟨x|1⟩⟨1|s⟩    ................................ (3.5)

Again this result is not completely precise. We should also include a factor for the amplitude that the electron will get through the hole at 1; but in the present case it is a simple hole, and we will take this factor to be unity.

다시 짚어 두지만 이 결과는 사실 완전하진 않다[모든것을 세세히 따진게 아니다.] 전자가 구멍 1을 지나는 동안 받을 영향도 고려해야 하지만 지금으로서는 구멍을 단순화 했고 구멍의 영향은 차치해(to be unity) 두기로 한다.

You will note that Eq. (3.5) appears to be written in reverse order. It is to be read from right to left: The electron goes from s to 1 and then from 1 to x.

식 (3.5)에 기술된 표현을 보면 순서가 뒤집어 진것처럼 보일 것이다. 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어야 하는데, 전자가 진행한 경로는 s 에서 1로, 이어서 1에서 x가 된다.

In summary, if events occur in succession—that is, if you can analyze one of the routes of the particle by saying it does this, then it does this, then it does that—the resultant amplitude for that route is calculated by multiplying in succession the amplitude for each of the successive events.

요약하면 만일 사건이 연속적으로 일어나는경우, 그러니까 분석을 통해 입자가 지나간 경로를 이곳을 거치고 이어서 이곳을 거쳤다고 말할 수 있다면  연속된 각 사건의 진폭을 연속적으로 곱해 최종 진폭을 계산할 수 있다.

Using this law we can rewrite Eq. (3.4) as

이 법칙[확율진폭 곱의 원리]를 적용해 식 (3.4)를 다시 쓰면 다음과 같다.

    ⟨x|s⟩_both = ⟨x|1⟩⟨1|s⟩ + ⟨x|2⟩⟨2|s⟩.

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Now we wish to show that just using these principles we can calculate a much more complicated problem like the one shown in Fig. 3–2. Here we have two walls, one with two holes, 1 and 2, and another which has three holes, a, b, and c. Behind the second wall there is a detector at x, and we want to know the amplitude for a particle to arrive there.

이 [확률진폭 연산의] 원리들을 이용하여 그림 3-2와 같이 좀더 복합적인 구성을 갖는 문제에 적용해 보자. 이 구성에는 두개의 벽이 있고 그중 한 벽에 두 구멍이 뚫렸는데 각각 1과 2라고 하자. 또다른 벽에는 각각 a, b, c 라는 이름을 붙인 세개의 구멍이 뚫려있다. 두번째 벽 뒤의 벽에 x 지점에 검지기가 놓여있다. 이 검지기에 도착할 입자의 확률진폭을 구하고자 한다.

Well, one way you can find this is by calculating the superposition, or interference, of the waves that go through; but you can also do it by saying that there are six possible routes and superposing an amplitude for each. The electron can go through hole 1, then through hole a, and then to x; or it could go through hole 1, then through hole b, and then to x; and so on.

그럼 이 총 진폭은 입자가 통과하는 구간마다 중첩 혹은 간섭을 계산하여 구할 수 있다. 하지만 조합가능한 경로가 여섯가지나 되고 각 구간마다 진폭을 구해 합쳐야 한다. 전자는 구멍 1을 통과한 후 이어 구멍 a를 통과하여 x 에 도착할 수 있다. 또는 구멍 1을 통과한 후 구멍 b를 통과하여 x 에 도달할 수도 있다. 그런식으로 여러 조합이 가능하다. 

According to our second principle, the amplitudes for alternative routes add, so we should be able to write the amplitude from s to x as a sum of six separate amplitudes. On the other hand, using the third principle, each of these separate amplitudes can be written as a product of three amplitudes.

경로가 다른 경우 더하기로 한 두번째 확률진폭 계산의 원리에 따라 s 에서 시작하여 x 에 도달하기까지 총 확률진폭은 여섯가지의 개별 경로별 진폭을 모두 더하여 구한다. 한편, 각 경로별 진폭은 세 부분 구간의 진폭을 [전자가 이동하는 경로상 순서에 따라] 곱하여 독립적으로 구한다.

For example, one of them is the amplitude for s to 1, times the amplitude for 1 to a, times the amplitude for a to x.

예를들어 여섯개 경로중 한 경로의 확률진폭은 s에서 1로 가는 진폭 곱하기 1에서 a 로 가는 진폭 곱하기 a 에서 x 까지의 진폭을 곱한다.

Using our shorthand notation, we can write the complete amplitude to go from s to x as

간략한 [브라켓] 표기법을 적용하여 s 에서 x 까지의 총 진폭을 구하는 식을 포현하면 다음과 같다.  

    ⟨x|s⟩ = ⟨x|a⟩⟨a|1⟩⟨1|s⟩ + ⟨x|b⟩⟨b|1⟩⟨1|s⟩ + ⋯ + ⟨x|c⟩⟨c|2⟩⟨2|s⟩.

We can save writing by using the summation notation

이렇게 모두 더하기로 나열하기 보다 총합 기호를 쓰면 간략해보이기도 하고 그럴듯 하다.

    ⟨x|s⟩ = ∑i=1,2α=a,b,c(⟨x|α⟩⟨α|i⟩⟨i|s⟩)    .........................    (3.6)

In order to make any calculations using these methods, it is, naturally, necessary to know the amplitude to get from one place to another. We will give a rough idea of a typical amplitude. It leaves out certain things like the polarization of light or the spin of the electron, but aside from such features it is quite accurate.

이런 식으로 계산을 하려면 당연히 한곳에서 다른곳에 이르는 진폭을 알아야야 할 것이다. 기초적인 확률진폭 계산법을 개략적으로 다뤄볼 것이다. 일테면 빛의 편광 이나 전자의 스핀 같은 아주 세밀한 요소들은 잠시 접어두기로 한다.

[세밀한 요소들은 경로상 영향을 주는 요인이므로 세번째 원리에 따라 그로 인한 진폭을 곱해주면 된다. 편광, 스핀 같은 입자에 내재한 특성들 역시 간섭과 같이 입자가 진행하며 어디에 위치할지 영향을 주는 요인들로  취급된다.]

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[참고]

1. 차교수와 물리산책[링크]

2. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/

3. 차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 3장/1강[강의]/[원문]

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[파인만 양자역학] 2-6. 철학적 함의(Phylosophical implications)

[파인만 양자역학] 2-6. 철학적 함의(Phylosophical implications)

[참조]차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/[원문]

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[주의] ------------------------------------------------------------------------------------
파인만 양자역학을 내맘대로 번역하고 약간의 해설을 달아 봤습니다. 한글 해석과 덧붙인 [주]는 저의 개인적인 생각 이므로 그대로 받아 들이진 말아 주세요. 하지만 칭찬, 동의, 반론, 지적등 어떤 식으로든 의견은 환영 합니다.
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Chapter 2. The relation of wave and particle viewpoints)
2장. 파동과 입자 관점의 차이

2–6. Philosophical implications

2-6. 철학적 함의(Phylosophical implications)

Let us consider briefly some philosophical implications of quantum mechanics. As always, there are two aspects of the problem: one is the philosophical implication for physics, and the other is the extrapolation of philosophical matters to other fields.

양자역학이 가지는 철학적 함의를 간략하게 집어 보자. 늘 그랬던 것처럼 질문에는 양면이 있다. 먼저 물리학에 담긴 철학적 의미와 그 다음으로 [물리학 이외의] 다른 영역에 철학적 의미와 상관성이다.

When philosophical ideas associated with science are dragged into another field, they are usually completely distorted. Therefore we shall confine our remarks as much as possible to physics itself.

과학과 관련된 철학적 개념(idea)이 다른 영역으로 끌려 들어 가면서(drag into ~) 딴판으로 왜곡되곤 한다. 따라서 우리의 논의를 물리학의 영역에 힘껏 붙잡아 둬야 한다. 

First of all, the most interesting aspect is the idea of the uncertainty principle; making an observation affects the phenomenon. It has always been known that making observations affects a phenomenon, but the point is that the effect cannot be disregarded or minimized or decreased arbitrarily by rearranging the apparatus.

먼저, 가장 흥미를 끄는 측면은 관찰(observation)이 현상(phenomenon)에 영향을 미칠 거라는 불확정성 원리의 개념이다. 관측하는 것으로 현상[발현]에 영향을 미친다고 들 알려져 있다. 하지만 요점은 그 영향이라는 것이 [측정] 장치들을 재배치 하는 것으로 없앤다거나 최소화 시키거나 임의로 줄일 수 없다는 점이다.

[관측으로 인해 결과가 바뀐다고 하지만 관측 방법(장치의 재배치)을 바꾼다고 결과에 영향을 주지 않았다. 그렇다면 관측이 결과에 영향을 미친다는 생각은 유효한가?]

When we look for a certain phenomenon we cannot help but disturb it in a certain minimum way, and the disturbance is necessary for the consistency of the viewpoint. The observer was sometimes important in prequantum physics, but only in a trivial sense.

우리가 어떤 현상을 관찰할 때 영향을 최소화 하긴 하겠지만 피할 수는 없고 일관된 관점을 위해서는 이런 '개입'은 필수다. 양자물리학 이전에(pre-quantum) 관찰자는 때로 매우 중요했으나 대개 무시되곤 했다.

The problem has been raised: if a tree falls in a forest and there is nobody there to hear it, does it make a noise? A real tree falling in a real forest makes a sound, of course, even if nobody is there. Even if no one is present to hear it, there are other traces left. The sound will shake some leaves, and if we were careful enough we might find somewhere that some thorn had rubbed against a leaf and made a tiny scratch that could not be explained unless we assumed the leaf were vibrating. So in a certain sense we would have to admit that there is a sound made.

이런 문제를 상정해보자. 숲에서 나무가 쓰러졌으나 그것을 듣는 이가 아무도 없었다고 해보자. 그렇다면 [쓰러지는] 소리가 났었다고 할 수 있을까? 실제로 나무는 쓰러졌고 소음도 일었지만 듣는이가 아무도 없었을 뿐이다. 그 소리를 들었다는 사람이 아무도 없었더라도 다른 흔적(traces)은 남아 있다. 자세히 살펴 보면 가시(thorn)가 나뭇잎을 비벼서(rubbed) 작은 상처(scratch)를 냈는데 그 상처는 나뭇잎을 흔렸기 때문이라는 이유말고는 설명할 수 없다. 따라서 소음이 났다는 것을 어떤 식으로든 받아들여야 할 것이다.

We might ask: was there a sensation of sound? No, sensations have to do, presumably, with consciousness. And whether ants are conscious and whether there were ants in the forest, or whether the tree was conscious, we do not know. Let us leave the problem in that form.

이런 의문을 가질 수 있다. 소리의 감응[소리에 대한 반응]이 있었을까? 그렇지 않다. 추측컨데 감응은 인지했을 때 일어난다. 만일 숲어딘가에 있던 개미가 인지했을 지도 모를 지언정 우리는 인지하지 못했다. 이제 이 문제는 그대로 놔 두자.

Another thing that people have emphasized since quantum mechanics was developed is the idea that we should not speak about those things which we cannot measure. (Actually relativity theory also said this.) Unless a thing can be defined by measurement, it has no place in a theory. And since an accurate value of the momentum of a localized particle cannot be defined by measurement it therefore has no place in the theory. The idea that this is what was the matter with classical theory is a false position. It is a careless analysis of the situation. Just because we cannot measure position and momentum precisely does not a priori mean that we cannot talk about them. It only means that we need not talk about them.

또다른 문제는 양자역학이 대두되자 사람들은 우리가 측정할 수 없는 것은 언급하지 말아야 한다는 사상을 강조했다는 점이다. (실제로 상대론도 이에 동조했었다.) 측정(관찰)로 실체를 정의할 수 없다면 이론이 설 자리는 없다. 입자의 위치를 특정할 수 없기에 운동량의 정확한 값을 측정할 수 없으므로 이론이 성립할 여지가 없다. 이 생각이 바로 고전물리학이 어긋나게된 문제의 지점이다. 상황에 대한 분석이 세심하지 못했다. 그저 위치와 운동량을 정확히 측정할 수 없다는 점이 우리가 논의할 수도 없다고 말하는 가장 우선적인 이유가 될 수 없다. 언급할 필요가 없을 뿐이다. [특정 할 수 없다는 점을 만하지 말고 현상은 인정하자.]

The situation in the sciences is this: A concept or an idea which cannot be measured or cannot be referred directly to experiment may or may not be useful. It need not exist in a theory. In other words, suppose we compare the classical theory of the world with the quantum theory of the world, and suppose that it is true experimentally that we can measure position and momentum only imprecisely. The question is whether the ideas of the exact position of a particle and the exact momentum of a particle are valid or not.

과학계의 상황은 이랬다. 실험으로 직접 측정될 수 없는 개념 또는 생각은 유효하지도 않고 유효할 수도 없다는 것이다. 그런 생각은 이론으로 존재할 필요도 없다. 달리 말하면, 고전물리 이론이 통하는 세계와 양자이론의 세계를 비교한다고 해보자. 우리가 위치와 운동량을 개략적으로 만 실험으로 측정할 수 있다고 해보자. 이때 해야할 질문은 입자의 정확한 위치와 정확한 운동량이 있다는 생각이 유효한지 또는 아닌지다. [양자현상은 있으나 위치와 운동량을 각각 특정할 수 없다고 불확정성 원리라는 생각을 부정할 일은 아니다.]

The classical theory admits the ideas; the quantum theory does not. This does not in itself mean that classical physics is wrong. When the new quantum mechanics was discovered, the classical people—which included everybody except Heisenberg, Schrödinger, and Born—said: “Look, your theory is not any good because you cannot answer certain questions like: what is the exact position of a particle?, which hole does it go through?, and some others.”

고전 이론에서는 그렇게 [실험으로 입증되어야 한다고] 받아들였고 양자이론은 그러지 않았다. 고전물리학이 틀렸다는 게 아니다. 새로 양자역학이 등장 했을 때 하이젠버그, 슈뢰딩거 그리고 보른을 제외한 대부분 고전역학계 사람들은 이렇게 말했다. "봐라, 당신들 이론이 제대로 된게 없어. 당신들은 입자의 정확한 위치 조차 대답하질 못하잖아? 입자가 어느 구멍으로 통과 했는지 알아? 그외에도 한둘이 아니지."  

Heisenberg’s answer was: “I do not need to answer such questions because you cannot ask such a question experimentally.” It is that we do not have to.

하이젠버그의 대답은 이랬다. "당신들은 그 의문을 실험적으로 제시하지 못했으니 나는 그 질문에 답할 필요가 없군요." 그것이 바로 우리가 하면 않되는 질문이다.

Consider two theories (a) and (b); (a) contains an idea that cannot be checked directly but which is used in the analysis, and the other, (b), does not contain the idea.

(a) 와 (b)라는 두개의 이론이 있다고 해보자. (a)라는 이론은 즉시 확인할 수는 없지만 분석(해석)의 과정에서 활용될 수 있고, 다른 이론 (b)는 그 개념을 가지고 있지 않다.

[(a)라는 이론에 담긴 개념을 설명 할 수 없기 때문에 틀렸다고 주장한다. 실체를 직접 확인할 수 없는 개념은 받아들일 수 없다는 것이다.]

If they disagree in their predictions, one could not claim that (b) is false because it cannot explain this idea that is in (a), because that idea is one of the things that cannot be checked directly.

만일 두 이론의 예측이 일치하지 않다면 (a)라는 이론에 담긴 개념을 설명할 수 없다고 해서 (b)라는 이론이 틀렸다고 주장하면 않될 것이다. 그 개념도 직접 설명 될 수 없는 여러 개념들 중 하나이기 때문이다.

It is always good to know which ideas cannot be checked directly, but it is not necessary to remove them all. It is not true that we can pursue science completely by using only those concepts which are directly subject to experiment.

어떤 개념은 직접 확인될 수 없다는 것을 늘 인지하고 있어야 한다. 하지만 모두 제거할 필요는 없다[어떤 개념이 직접 확인 할 수 없다고 해서 깡그리 무시될 필요는 없다는 점을 필히 염두에 두어야 한다.] 실험으로 직접 확인될 수 있는 개념만이 우리가 추구할 과학이라고 여기는 것은 옳지않다.

In quantum mechanics itself there is a probability amplitude, there is a potential, and there are many constructs that we cannot measure directly. The basis of a science is its ability to predict. To predict means to tell what will happen in an experiment that has never been done. How can we do that?

양자역학 스스로 확률 진폭이라는 개념을 가지고 있고, 가능성을 말하며 직접 확인할 수 없지만 여러 구성들[입자의 현상을 설명할 수 있는 이론들]을 가지고 있다. 예측할 수 있는 능력은 과학의 기본이다. 예측이란 이제까지 없었던 어떤 일이 벌어질지 실험으로 말하는 것이다. 어떻게 할 수 있을까?

By assuming that we know what is there, independent of the experiment. We must extrapolate the experiments to a region where they have not been done. We must take our concepts and extend them to places where they have not yet been checked.

실험으로 얻어지지는 않았더라도 이전에 있었던 경험을 취합하자. 이제까지 없었던 영역으로 실험을 추론해 봐야한다. 개념을 꼭 쥐고 아직 검증되지 않은 영역으로 확장해야 할 것이다.

[경험을 토대로 사고실험을 해보자. 고전 물리학의 이론들이 양자 현상의 개념을 가지고 있지 않다고 틀렸다고 말하지 말자. 고전 물리학의 파동 이론과 통계 이론을 가지고 사고실험을 통해 양자현상을 설명해보자.]

If we do not do that, we have no prediction. So it was perfectly sensible for the classical physicists to go happily along and suppose that the position—which obviously means something for a baseball—meant something also for an electron. It was not stupidity. It was a sensible procedure.

그렇게 하지 않으면 예측은 있을 수 없다. 따라서 고전물리학자들은 위치의 의미가 야구공이나 전자나 다를바 없다는 것을 당연하게 여길 것이다. 이런 생각은 어리석지 않다. [야구공의 위치를 계산하는 법칙을 전자에 적용하는] 이런 대입은 일리있다.

Today we say that the law of relativity is supposed to be true at all energies, but someday somebody may come along and say how stupid we were. We do not know where we are “stupid” until we “stick our neck out,” and so the whole idea is to put our neck out. And the only way to find out that we are wrong is to find out what our predictions are. It is absolutely necessary to make constructs.

오늘날 우리는 상대성 법칙이 모든 에너지에 적용된다고 하는데 언잰가 누가 나타나 우리가 참 어리석었다고 말할지 모른다. 우리는 숨이 넘어가기 전까지 우리가 바보였다는 사실을 깨닳지 못한다. 따라서 우리가 믿고있는 모든 사상에 목을 메고있다. 우리가 잘못알고 있다는 것을 깨닳는 유일한 길은 우리가 예측하려는 것이 무었인지 알아내는 것이다.

We have already made a few remarks about the indeterminacy of quantum mechanics. That is, that we are unable now to predict what will happen in physics in a given physical circumstance which is arranged as carefully as possible.

우리는 앞서 양자역학의 불확정성(원리)에 대해 몇가지 언급했다. 그것들은 주어진 환경에서 세심히 정립되어온 물리학[고전 물리학]에 어떤 영향을 미칠지 현재로서는 확실치 않다.

[이제까지 보지 못했던 미시 세계의 현상을 양자역학으로 설명하려 한다. 보이는 자연현상을 세밀히 관찰한 끝에 신중히 정립되어 온 고전 물리학과 상충될 것인지 아직 알 수 없다.]

If we have an atom that is in an excited state and so is going to emit a photon, we cannot say when it will emit the photon. It has a certain amplitude to emit the photon at any time, and we can predict only a probability for emission; we cannot predict the future exactly. This has given rise to all kinds of nonsense and questions on the meaning of freedom of will, and of the idea that the world is uncertain.

만일 흥분상태[전자가 에너지를 얻어 바깥 궤도로 올라간 불안정 상태]에 있는 원자는 이내 광자를 방출할 텐데 언재 광자를 방출할 것이라고 특정할 수는 없다. 단지 언재든 광자를 방출할 [확률]진폭이 있는데 이를 방출 확률로 예측할 수 있을 뿐이다. 말하자면 적확하게 예측하지 못한다는 뜻이다. 이점이 자유의지과 세상은 불안정 하다는 생각의 의미에 관한 수많은 오해와 의문을 낳았다.

Of course we must emphasize that classical physics is also indeterminate, in a sense. It is usually thought that this indeterminacy, that we cannot predict the future, is an important quantum-mechanical thing, and this is said to explain the behavior of the mind, feelings of free will, etc. But if the world were classical—if the laws of mechanics were classical—it is not quite obvious that the mind would not feel more or less the same.

물론 고전물리학 역시 불확정적인 면이 있다는 것을 어느정도 인정해야 한다. 미래를 완전히 예측할 수 없는 불확정성이 양자역학에서 매우 중요한 요소 이면서 자유의지의 느낌같은 마음 내키는 대로 취하는 행동을 설명할 수 있다는 이야기를 듣는다. 하지만 세상이 고전적 이라면, 말하자면 역학 법칙이 고전적 이라고 해서 [인간의] 생각도 별 차이가 없어야 한다는 점은 분명히 아니다.

It is true classically that if we knew the position and the velocity of every particle in the world, or in a box of gas, we could predict exactly what would happen. And therefore the classical world is deterministic.

우리가 세상의 혹은 상자안의 입자들의 위치와 속도룰 정확하게 알고 있다면 무슨일이 일어날지 확실히 예상할 수 있을 것이라는 말은 고전물리학적으로 맞다. 고로 고전적 세상은 결정론적이다. 

Suppose, however, that we have a finite accuracy and do not know exactly where just one atom is, say to one part in a billion. Then as it goes along it hits another atom, and because we did not know the position better than to one part in a billion, we find an even larger error in the position after the collision. And that is amplified, of course, in the next collision, so that if we start with only a tiny error it rapidly magnifies to a very great uncertainty.

하지만 유한한 정밀도, 그러니까 십억개 중 한개 정도의 원자에 대해 [위치나 속도를] 모른다고 가정해보자. 그 원자가 다른 원자와 충돌하면 우리가 십억분의 일의 오차보다 더 정확히 위치를 모르니까 충돌 후 위치에 더 많은 오차를 구해낼 것이다. 그리고 연속된 충돌로 인해 그 오차는 점점더 커져 처음에는 아주 작은 오차로 시작했으나 이내 엄청난 불안정성을 유발하며 급히 증가할 것이다. 

[유한한 정밀도: 오차가 꼭 있어야 한다. 정밀도가 무한하다면 오차가 0일 수도 있고 세상은 정확히 예측 가능할 수도 있다.]

To give an example: if water falls over a dam, it splashes. If we stand nearby, every now and then a drop will land on our nose. This appears to be completely random, yet such a behavior would be predicted by purely classical laws. The exact position of all the drops depends upon the precise wigglings of the water before it goes over the dam. How?

예를 하나 들어보자. 댐에서 물이 넘쳐 떨어지고 있다고 하자. 우리가 그 옆에 서있다면 물방울이 우리의 코위로 틈틈이 튈 것이다. 물방울은 전적으로 무작위로 튀겠지만 순전히 고전적인 법칙으로 예상할 수 있을지도 모른다. 모든 물방울의 정확한 위치는 물의 정확히 어떻게  댐을 넘쳐 요동치는 가에 달렸다. 어떻게? 

The tiniest irregularities are magnified in falling, so that we get complete randomness. Obviously, we cannot really predict the position of the drops unless we know the motion of the water absolutely exactly.

아주 미미한 불규칙성은 [물이] 떨어지며 증폭되어 완전히 무작위적이 양상을 띄게 될 것이다. 물의 움직임을 확실히 알지 못하는 한 확실하게 물방울의 위치를 확실히 예측할 수 없다.

Speaking more precisely, given an arbitrary accuracy, no matter how precise, one can find a time long enough that we cannot make predictions valid for that long a time.

더 높은 정밀도를 따진다면, 얼마나 정밀할 것인지 중요치 않다, 유효한 예측을 할 수 없을 만큼 아주긴 시간이 걸릴 것을 안다. 

Now the point is that this length of time is not very large. It is not that the time is millions of years if the accuracy is one part in a billion.

이때 요점은 이정도의 시간동안은 아주 긴게 아니라는 점이다. 그러니까 정밀도를 십역분의 일로 잡아도 백만년이나 되진 않을 것이다. 

The time goes, in fact, only logarithmically with the error, and it turns out that in only a very, very tiny time we lose all our information.

사실 시간이 흐르며 오차는 지수함수적으로 증가한다. 그리고 아주아주 짧은 시간내에 우리가 가진 정보를 모두 잃게된다.

If the accuracy is taken to be one part in billions and billions and billions—no matter how many billions we wish, provided we do stop somewhere—

만일 정밀도를 수십억, 수백억, 수천억분 혹은 원하는 만큼 그 이상 큰 값 분의 일로 잡더라도, 언잰가는 멈춰야 하는 [유한한] 정밀도를 취한다 해도

then we can find a time less than the time it took to state the accuracy—after which we can no longer predict what is going to happen!

정밀도를 설정한 시간보다 더 짧은 시간을  내에 우리가 더이상 예측이 불가능해 지는 시간을 알아낼 수 있다.

[아무리 작은 확율의 불확정성을 설정해 놓더라도 아주짧은 시간내에 이로부터 증폭된 오차로 인해 예측 불가하게 된다.]

It is therefore not fair to say that from the apparent freedom and indeterminacy of the human mind, we should have realized that classical “deterministic” physics could not ever hope to understand it, and to welcome quantum mechanics as a release from a “completely mechanistic” universe.

따라서 표면적인 자유도와 고전적인 "결정론적" 물리학이 이를 [양자역학/불확정성] 이해할 거라는 희망을 버리고 "완벽히 역학적인" 우주에서 나온 거라며 양자역학을 환영하고픈 인간의 심정을 함께 논하는 것은 정당치 않다.

For already in classical mechanics there was indeterminability from a practical point of view.

이미 고전역학에서도 실제로 불확정성을 인정하고 있으니까.

[양자역학이 등장하여 우주의 섭리를 설명할 듣한 기세지만 고전역학을 무시하지 말자. 양자역학을 설명하기 위해 고전역학의 이론들이 동원되었다. 고전역학에도 불확정성은 있었다. 다만 해석의 단순화를 위해 무시했었을 뿐이다.]

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[참고]

1. 차교수와 물리산책[링크]

2. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/

3. 차교수의 물리 산책: 파인만 양자역학 2장/[원문]

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